Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 20m1rzϕm2xAbbildung 2.3: Skizze des gezogenen Pendelsneuen Variablen einsetzt (vergleiche Lehrbücher, mühsam), oder direkt über das Hamilton’schePrinzip.Der Kernpunkt ist dabei, dass alle zulässigen Variationen δr i durchδr i = δg i (q 1 , q 2 , . . . q f , t) =f∑j=1∂g i∂q jδq jausgedrückt werden können. Dabei ist die Variation der generalisierten Koordinaten an keineEinschränkungen gebunden. (Die Zeit wird nicht variiert, da die virtuellen Verrückungeninstantan sind.) Damit vereinfacht sich das Hamilton’schen Prinzip ungemein, wenn man esin generalisierten Koordinaten formuliert. Hierzu ersetzen wir in der Lagrange-Funktion die r iund ṙ i über Gl. (2.8) durch die generalisierten Koordinaten q j , q˙j und erhalten so die LagrangefunktionL(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t).Analog zu Gl. (2.4) ist nun die Variation des Wirkungsintegrals durchdt δL(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t) =∫ te∫ teδS{q j (t)} =dtt a t af∑∫ te= dtt aj=1[ ∂L− d ( )] ∂Lδq j (t) +∂q j dt ∂ ˙q jj=1f∑j=1[ ∂Lδq j (t) + ∂L ]δ ˙q j (t)∂q j ∂ ˙q jf∑∂Lδq j (t)∂ ˙q j∣gegeben. Das Hamilton’schen Prinzip besagt nun, dass die Bahn des Systems durch die ForderungδS für beliebige Verrückungen δq j (t) bestimmt ist. Damit erhalten wir dieLagrange’schen GleichungenddtBemerkungen( )∂L(q1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t)= ∂L(q 1, . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t)für j = 1, 2, . . . f (2.9)∂ ˙q j ∂q j• Die Lagrange’schen Gleichungen liefern ein System von f Differentialgleichungen 2. Ordnungin q i . Zusammen mit den 2f Anfangsbedingungen q i (t 0 ) und ˙q i (t 0 ) sind dadurch dieBahnkurven des Systems bestimmt.• Ohne Zwangsbedingungen kann man die normalen Koordinaten x i , y i , z i für i = 1, 2, . . . Nals generalisierte Koordinaten verwenden. Wir erhalten mit L = ∑ i m i/2(ẋ 2 i + ẏ 2 i + ż 2 i ) −t et a