Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 353.2.2 Der Liouville’sche SatzWir definieren im Phasenraum die Vektoren⎛ ⎞ ⎛ ⎞p 1ṗ 1. . .. . .x H =p f⎜ q 1v H =ṗ f⎟ ⎜ ˙q 1⎟⎝. . . ⎠ ⎝. . . ⎠q f ˙q fDann gilt∇ H · v H = ∑ i( ∂∂p iṗ i + ∂∂q i˙q i)= ∑ i⎛ ⎞∂/∂p 1. . .∇ H =∂/∂p f⎜∂/∂q 1⎟⎝ . . . ⎠∂/∂q f( ( ∂− ∂H )+ ∂ )∂H= 0∂p i ∂q i ∂q i ∂p iDamit verschwindet die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes im Phasenraum.In der Hydrodynamik folgt für eine Flüssigkeit mit fester Dichte ρ(r, t) = ρ 0 = const (manspricht von einer inkompressiblen Flüssigkeit) aus der Kontinuitätsgleichung∂ρ(r, t) + div ρ(r, t)v(r, t) = 0} ∂t {{ }} {{ }=ρ=00 div v(r,t)gerade div v(r, t) = 0. Demnach entspricht der Fluss im Phasenraum dem Fluss einer inkompressiblenFlüssigkeit.Nun wollen wir die Dynamik eines Ensembles von gleichartigen Systemen untersuchen, die mitunterschiedlichen Anfangsbedingungen starten. Hierzu definieren wir die Dichte im Phaseraumρ(p 1 , . . . p f , q 1 , . . . q f , t) =N∆p f ∆q füber die Anzahl der Systeme, die sich zum Zeitpunkt t im Intervall ∆p f ∆q f um den Ort x Hdes Phasenraums befinden. Da sich die gesamte Anzahl der Systeme mit der Zeit nicht ändertgilt, die Kontinuitätsgleichung im PhasenraumMit∂ρ(x H , t)∂t∇ H · (ρv H ) = v H · ∇ H ρ + ρ ∇ H · v} {{ H = ∑ }=0 i+ ∇ H · (ρ(x H , t)v H (x H , t)) = 0⎛⎜⎝ṗi}{{}=− ∂H∂q i∂∂p iρ +˙q i }{{}= ∂H∂p i⎞∂ρ⎟∂q ⎠ = {H, ρ}ierhalten wir folgende Differentialgleichung für die Dichte der Systeme im Phasenraum 3∂ρ(p 1 , . . . p f , q 1 , . . . q f , t)∂t= −{H, ρ} . (3.13)3 Beachte, dass im Gegensatz zu Gl. (3.11) diese Beziehung die partielle Zeitableitung betrifft und für diePhasenraumdichte ρ nicht aber für beliebige Phasenraumfunktionen gilt.