Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 31.1.3 Determinismus der klassischen MechanikBei bekannten Funktionen der Kräfte F i (r 1 , . . . r N , t) wird die Bewegung der Teilchen durch einSystem von 3N expliziten Differentialgleichungen 2. Ordnung in den Teilchenkoordinaten¨r i (t) = 1 m iF i (r 1 (t), . . . r N (t), t)in den Teilchenkoordinaten (x i , y i , z i ) bestimmt. Die Mathematik zeigt, dass es eine eindeutigeLösung gibt, wenn 6N unabhängige Randbedingungen vorgegeben sind und F i (r 1 , . . . r N , t) einegutmütige Funktion (Lipschitz-Bedingung) ist (Satz von Cauchy, Picard und Lindelöf). Damitist bei vorgegebenen Anfangsbedingungen r i (0), ṙ i (0) für alle i = 1, . . . N das Verhalten desSystems für alle Zeiten vorbestimmt. Demnach ist die klassische Mechanik eine deterministischeTheorie. Aufgrund ihres Erfolges im 18. und 19. Jahrhundert hat sie ein Bild der Physik alsinhärent deterministischer Theorie in unser Bewusstsein eingeprägt, das man durchaus in Fragestellen kann.Den entsprechenden Satz kann man sich wie folgt klar machen: Führen wir die Geschwindigkeitenv i (t) = ṙ i als neue Variable ein, so erhält man 6N Differentialgleichungen 1. Ordnung˙v i (t) = 1 m iF i (r 1 (t), . . . r N (t), t)ṙ i (t) = v i (t)Diskretisiert man die Zeitachse in Zeitschritte t n = n∆t so kann man überv i (t n+1 ) = v i (t n ) + ∆t 1 m iF i (t, r 1 (t n ), . . . r N (t n ))r i (t n+1 ) = r i (t n ) + ∆tv i (t n )für n = 1, 2, . . . aus der Kenntnis von r i (0), v i (0) die Bahnkurve rekursiv für alle Zeiten bestimmen.Für ∆t → 0 wird das Verfahren, das als Euler-Verfahren bezeichnet wird, exakt underlaubt eine numerische Berechnung der Bahnkurven. (Es gibt aber deutlich bessere Verfahren,die mit Verkleinerung des Zeitschrittes schneller gegen die richtige Lösung konvergieren.)1.2 Mechanische Größen1.2.1 KräfteDie Gesamtkraft F i auf eine Teilchen i kann man aufteilen in:Äußere Kräfte F (a)iF (a)i(r i , t), die nur vom Ort r i des betrachteten Teilchens abhängen. (Z.B.(r i , t) = −m i ge z im homogenen Schwerefeld)Innere Kräfte F (in)i (r 1 , . . . r N , t), die auch vom Ort der anderen Teilchen abhängen. Hierbeihandelt es sich in der Regel um Zwei-Körper-Kräfte(Z.B. die Gravitationskraft).F (in)i (r 1 , . . . r N , t) = ∑ j≠iF ij (r i , r j , t)