Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Kapitel 2Mechanik mit Zwangsbedingungen2.1 Einführendes BeispielWir betrachten eine Kugel der Masse m, die mit einem Faden der Länge l im Ursprung aufgehängtist. Sie soll dabei in der x, z-Ebene schwingen können (ebenes Pendel). Damit schränktder Faden die freie Bewegung der Kugel auf eine Kreisbahnl 2 = x 2 (t) + z 2 (t)ein. Dies bezeichnet man als Zwangsbedingung. Auf die Kugel wirken zwei Kräfte:1. die Gewichtskraft K = −mge z2. die Fadenkraft Z, die zunächst nicht bekannt ist. Sie bewirkt, dass die Kugel auf einerKreisbahn um den Ursprung bleibt und wird deswegen als Zwangskraft bezeichnet. Dabeiwirkt die Zwangskraft längs des Fadens, d.h. Z(t) ‖ r.Aus dem zweiten Newton’schen Axiom folgt die Bewegungsgleichungm¨r = F(t) = K + Z(t)für die in diesem Kapitel Lösungsverfahren entwickelt werden sollen.2.1.1 Lösung mit ZwangskräftenDa Z(t) ‖ r machen wir den Ansatzund erhalten die drei GleichungenZ(t) = λ(t)r(t)mẍ = λ(t)x(t)m¨z = λ(t)z(t) − mgl 2 = x 2 + z 2 (2.1)10