Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 16• Menge aller Funktionen f(x) auf dem Intervall [0, 1]. Dann istI{f(x)} =ein Funktional von f(x). Z.B. ist I{x 2 } = 1/3.∫ 10dx f(x)• Menge aller Bahnkurven r(t) in t a < t < t e . Beispiele für Funktionale sindMittelwert des Ortes 〈r〉 = 1t e − t a∫ teMittelwert des kinetischen Energie 〈T 〉 = 1t e − t a∫ tet at adt r(t)dt m 2 (ṙ(t))2Ist das Funktional F {f(x)} für eine bestimmte Funktion f 0 (x) gegeben, so istδF {f 0 (x)} = F {f 0 (x) + δf(x)} − F {f 0 (x)}die Variation des Funktionals. Dabei ist δf(x) eine beliebige (infinitesimal kleine) Funktion desDefinitionsbereiches. Insbesondere gilt für• F 1 {f(x)} = ∫ badx g[f(x)]δF 1 {f 0 (x)} =∫ b• F 2 {f(x)} = ∫ bdx g[f ′ (x)]aund allgemeinδF 2 {f 0 (x)} =∫ baadx g[f 0 (x) + δf(x)] − g[f 0 (x)] =dx g[f ′ 0(x) + δf ′ (x)] − g[f ′ 0(x)] ==g ′ [f ′ 0(x)]δf(x)| b a −∫ ba∫ b∫ bdx δf(x) ddx g′ [f ′ 0(x)]aadx g ′ [f 0 (x)]δf(x)dx g ′ [f ′ 0(x)] ddx δf(x)Für ein Funktional der Form F g {f(x)} = ∫ ba dx g[f(x), f ′ (x)] lautet die Variation an der Stellef 0 (x):∫ b[ ∂g[f0 (x), fδF g {f 0 (x)} = dx0(x)]′ − da∂f dx+ ∂g[f 0(x), f 0(x)]′ bδf(x)∂f ′∣a( )]∂g[f0 (x), f 0(x)]′ δf(x)∂f ′Beispiel: Für das Funktional des Mittelwertes der kinetischen Energie gilt:δ〈T 〉 = 1 [ ∫ te− dt dmṙ(t) · δr(t) + mṙ(t) · δr(t) ∣ ]tet e − t a t adtt a= 1 [ ∫ te− dt m¨r(t) · δr(t) + mṙ(t) · δr(t) ∣ ]tet e − tt a at a(2.4)