Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Kapitel 3Hamilton’sche Dynamik3.1 Hamilton’sche GleichungenAusgangspunkt ist die Lagrangefunktion L(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t) die über die Lagrange’schenGleichungen auf f Differentialgleichungen zweiter Ordnung führt. Für eine numerische Lösungist es zweckmäßig, Differentialgleichungen erster Ordnung zu betrachten. Hierzu hatten wir imBeispiel 2.4.3 die Geschwindigkeiten v q = ˙q als neue Variablen betrachtet. In diesem Kapitelwollen wir die Mechanik so umformulieren, dass ein System aus Differentialgleichungen ersterOrdnung für die generalisierten Variablen q i und der zugehörigen kanonischen Impulse p i , dieHamilton’sche Gleichungen, entsteht. Im Gegensatz zur Formulierung mit q und v q hat diesekanonische Formulierung folgende Vorteile:• Man erhält eine symmetrische Struktur in den Variablen p und q, die eine große Klassevon Variablentransformationen (kanonische Transformationen) erlauben• Der Übergang zur Quantenmechanik ist möglich• Der Phasenraum der Variablen p, q erlaubt eine statistische Formulierung der ThermodynamikDie Idee ist dabei mit demkanonischen Impuls p i = ∂L(q 1 . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t)∂ ˙q ifür i = 1, . . . fneue zusätzliche Variablen einzuführen, die an die Stelle der Geschwindigkeiten ˙q i treten. Dannwird das System durch die 2f Variablen q 1 , . . . q f , p 1 , . . . p f beschrieben, die den Phasenraumaufspannen.26