Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 31Man rechnet leicht nach, dass p ϕ = L z gilt. Der kanonische Impuls, der zum Azimutwinkelgehört, ist also gerade die z-Komponente des Drehimpulses.Nun können wir die Gleichungen (3.6) nach den verallgemeinerten Geschwindigkeiten ˙ϑ, ˙ϕauflösen und erhalten:˙ϑ = p ϑml = h ϑ(p 2 ϑ , p ϕ , ϑ, ϕ, t) ˙ϕ =Damit lautet die HamiltonfunktionH(p ϑ , p ϕ , ϑ, ϕ) = ˙ϑp ϑ + ˙ϕp ϕ − L = p2 ϑml 2 += p2 ϑ2ml 2 +und wir erhalten die Bewegungsgleichungen˙ϑ = ∂H∂p ϑ= p ϑml 2˙ϕ = ∂H∂p ϕ=p 2 ϕml 2 sin 2 ϑ −p ϕml 2 sin 2 ϑ = h ϕ(p ϑ , p ϕ , ϑ, ϕ, t)p2 ϑ2ml 2 −p 2 ϕ2ml 2 sin 2 + mgl cos ϑϑ(3.7)p 2 ϕ2ml 2 sin 2 ϑ + mgl cos ϑp ϕml 2 sin 2 ϑZu Diskussion führen wir die neuen effektiven Parameterṗ ϑ = − ∂H∂ϑ =p2 ϕ cos ϑml 2 sin 3 + mgl sin ϑϑ(3.8)ṗ ϕ = − ∂H∂ϕ = 0 (3.9)√ gω 0 =lP = ml 2 ω 0ein. Zunächst finden wir, dass p ϕ (t) = const = P β gilt, wobei die dimensionslose Konstante βdurch die Anfangsbedingung p ϕ (t 0 ) bestimmt wird. Dann folgt( )p ϑβ˙ϑ 2 cos ϑ= ω 0 ṗ ϑ = ω 0 PPsin 3 ϑ + sin ϑ (3.10)Dies sind zwei Differentialgleichungen erster Ordnung für die beiden Variablen p ϑ (t), ϑ(t), dienumerisch recht einfach zu lösen sind. Aus deren Lösung kann man anschließend mitbestimmen.β˙ϕ = ω 0sin 2 ϑ⇒ ϕ(t) = ϕ(t 0 ) +∫ tdt ′ βω 0t 0sin 2 ϑ(t ′ )Zur Diskussion der Bewegung ist es zweckmäßig den Teil des Phasenraumes zu betrachten, dervon den Variablen p ϑ (t), ϑ(t) aufgespannt wird, siehe Abbildung 3.1. Die Vektoren zeigen dielokale Bewegungsrichtung, die durch die Gleichungen (3.10) bestimmt wird. Da die Hamiltonfunktionnicht explizit von der Zeit abhängt, ist( )p2H = ω 0 P ϑ2P + cos ϑ +β22 2 sin 2 = E(p ϑ , ϑ)ϑeine Erhaltungsgröße und die Bewegung verläuft auf den Kurven mit E(p ϑ , ϑ) = const, die inAbb. 3.1 eingezeichnet sind. Für β ≠ 0 erhält man für alle Energien geschlossene Kurven, undϑ ist auf das Intervall 0 < ϑ < π beschränkt.