Menschmodelle bei niedrigen Beschleunigungen Helmut Mutschler
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Bewegungsgleichungen<br />
tisch<br />
Rotationsfreiheitsgrade integriert werden müssen. Erkauft wird dieser Vorteil<br />
durch einen singulären Punkt (vgl. Gl. 20), der nicht integriert werden kann.<br />
⎧<br />
⎨<br />
cos(ψ)cos(χ) cos(ψ)sin(χ) −sin(ψ)<br />
⎫<br />
⎬<br />
sin(φ)sin(ψ)cos(χ)−cos(φ)sin(χ)<br />
⎩<br />
cos(φ)sin(ψ)cos(χ)+sin(φ)sin(χ)<br />
sin(φ)sin(ψ)sin(χ)+cos(φ)cos(χ)<br />
cos(φ)sin(ψ)sin(χ)−sin(φ)cos(χ)<br />
sin(φ)cos(ψ)<br />
⎭<br />
cos(φ)cos(ψ)<br />
→<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ φ ⎬<br />
ψ<br />
⎩ ⎭<br />
χ<br />
Zwangsbedingungen: Keine<br />
⋄ Parametrisierung durch Quaternionen 7 (entspricht 4 Parametern):<br />
Bei diese Parametrisierung werden für die Rotation nur 4 Parameter integriert,<br />
zusammen mit einer Zwangsbedingung erhält man jedoch eine differentialalgebraische<br />
Gleichung (DAE). Von Vorteil ist, dass es keine singulären Punkte<br />
gibt.<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
1 − 2q 2 y − 2q 2 z 2qxqy − 2qzqw 2qxqz + 2qyqw<br />
2qxqy + 2qzqw 1 − 2q 2 x − 2q 2 z 2qyqz − 2qxqw<br />
2qxqz − 2qyqw 2qyqz + 2qxqw 1 − 2q 2 x − 2q 2 y<br />
Zwangsbedingungen:<br />
�⎧<br />
�<br />
�⎪⎨<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�⎪⎩<br />
�<br />
qw<br />
qx<br />
qy<br />
qz<br />
⎫�<br />
�<br />
⎪⎬ �<br />
�<br />
�<br />
� = 1<br />
⎪⎭ �<br />
�<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ →<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⋄ Keine Parametrisierung (entspricht 9 Parametern):<br />
Der numerische Aufwand zur Integration der Rotationsfreiheitsgrade scheint<br />
hier<strong>bei</strong> am größten zu sein. Durch geschickte Ausnutzung der entstehenden<br />
Strukturen kann der numerische Aufwand jedoch deutlich reduziert werden. Da<br />
Rotationsmatrizen orthonormal sein müssen, erhält man aus dieser Bedingung<br />
6 Zwangsbedingungen.<br />
⎧ ⎫<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
r11 r12 r13<br />
r21 r22 r23<br />
r31 r32 r33<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ →<br />
7 Die Beschreibung durch Euler-Parameter ist mit der Beschreibung mittels Quaternionen iden-<br />
6<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
r11<br />
r21<br />
r31<br />
r12<br />
r22<br />
r32<br />
r13<br />
r23<br />
r33<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
qw<br />
qx<br />
qy<br />
qz<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭
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