Menschmodelle bei niedrigen Beschleunigungen Helmut Mutschler
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Bewegungsgleichungen<br />
Für die Kardandrehung ergibt dies:<br />
ΩII = Kx,y,z (φ, ψ, χ) ∗ d<br />
�<br />
�<br />
T<br />
Kx,y,z (φ, ψ, χ) =<br />
dt<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 −ωz ωy<br />
⎝ ωz 0 −ωx ⎠<br />
−ωy ωx 0<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ ωx ⎬<br />
ωII = ωy<br />
⎩ ⎭<br />
ωz<br />
=<br />
⎧<br />
⎨ − ˙χ −<br />
⎩<br />
˙ φ sin(ψ)<br />
˙φ cos(ψ)sin(χ) − ˙ ψ cos(χ)<br />
− ˙ φ cos(ψ)cos(χ) − ˙ ⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
ψ sin(χ)<br />
Üblicherweise wird der Zusammenhang zwischen ω und<br />
zenschreibweise formuliert:<br />
ωII = Tω ⎧ ⎫<br />
⎨ ˙φ ⎬<br />
∗ ˙ψ<br />
⎩ ⎭<br />
˙χ<br />
=<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ ωx ⎬<br />
ωy<br />
⎩ ⎭ =<br />
⎛<br />
−sin(ψ) 0 −1<br />
⎝ cos(ψ)sin(χ) −cos(χ) 0<br />
−cos(ψ)cos(χ) −sin(χ) 0<br />
ωz<br />
Die Inverse von T ω ist, wie erwartet, <strong>bei</strong> ψ = π/2 singulär.<br />
1<br />
cos(ψ) ∗<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙φ<br />
˙ψ<br />
˙χ<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ = Tω−1 ∗ ωII =<br />
0 sin(χ) −cos(χ)<br />
0 −cos(ψ)cos(χ) −cos(ψ)sin(χ)<br />
−cos(ψ) −sin(ψ)sin(χ) sin(ψ)cos(χ)<br />
� �T ˙φ, ψ, ˙ ˙χ<br />
⎞ ⎧<br />
⎨<br />
⎠ ∗<br />
⎩<br />
˙φ<br />
˙ψ<br />
˙χ<br />
⎞ ⎧<br />
⎨<br />
⎠ ∗<br />
⎩<br />
(18)<br />
noch in Matri-<br />
2.3 Berechnung von Drehmomenten in verschiedenen Koordinatensystemen<br />
Abhängig von der gewählten Parametrisierung müssen die wirkenden Kräfte und<br />
Momente in der selben Parametrisierung in die Differentialgleichungen eingebracht<br />
werden. Die grundlegende Gleichung (Gl. 2) zur Beschreibung der Rotationsfreiheitsgrade<br />
stellt eine tensorielle Gleichung dar, welche üblicherweise in eine Vektorschreibweise<br />
überführt wird (vgl. hierzu den zwanglosen Übergang von Ω zu ω in<br />
Gleichung 18, wo<strong>bei</strong> jedoch beachtet werden muss, dass dieser Übergang ausschließlich<br />
im 3-dimensionalen Raum funktioniert).<br />
10<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
ωx<br />
ωy<br />
ωz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(19)<br />
(20)
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