Menschmodelle bei niedrigen Beschleunigungen Helmut Mutschler
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Bewegungsgleichungen<br />
und für die Eulerdrehung:<br />
Ez,x,z (φ, ψ, χ) = rotz (φ) ∗ rotx (ψ) ∗ rotz (χ) =<br />
⎛<br />
⎝<br />
cos(φ)cos(χ)−cos(ψ)sin(φ)sin(χ) cos(φ)sin(χ)+cos(ψ)sin(φ)cos(χ) sin(ψ)sin(φ)<br />
−sin(φ)cos(χ)−cos(ψ)cos(φ)sin(χ) −sin(φ)sin(χ)+cos(ψ)cos(φ)cos(χ) sin(ψ)cos(φ)<br />
sin(ψ)sin(χ) −sin(ψ)cos(χ) cos(ψ)<br />
E −1 z,x,z (χ, ψ, φ) = rotz (χ) ∗ rotx (ψ) ∗ rotz (φ) =<br />
⎛<br />
⎝<br />
cos(φ)cos(χ)−sin(φ)cos(ψ)sin(χ) sin(φ)cos(χ)+cos(φ)cos(ψ)sin(χ) sin(ψ)sin(χ)<br />
−cos(φ)sin(χ)−sin(φ)cos(ψ)cos(χ) −sin(φ)sin(χ)+cos(φ)cos(ψ)cos(χ) sin(ψ)cos(χ)<br />
sin(φ)sin(ψ) −cos(φ)sin(ψ) cos(ψ)<br />
Genau so, wie die Euler- bzw. Kardanrotationsmatrizen gebildet wurden, lässt sich<br />
für jede andere Rotationsreihenfolge die Rotationsmatrix durch Multiplikation der<br />
entsprechenden Matrizen bilden. Hier<strong>bei</strong> bleibt die Gestalt der Rotationsmatrix immer<br />
erhalten, nur die einzelnen Matrixelemente werden entsprechend permutiert.<br />
Dies bedeutet, dass sich alle mögliche Rotationsmatrizen durch Permutationen aus<br />
entweder 2 verschiedenen Drehachsen (z. B. Eulerwinkel) oder 3 Drehachsen (z. B.<br />
Kardanwinkel) bilden lassen. Aus diesen 2 verschiedenen Erzeugungsmöglichkeiten<br />
resultieren entsprechend 2 verschiedene Matrizentypen, die eine wird durch die Eulerrotationsmatrix<br />
repräsentiert, die andere durch die Kardanrotationsmatrix.<br />
2.2.2 Berechnung der Winkel aus der Rotationsmatrix<br />
Die Umkehrabbildung von: roti(α) : ℜ 1 → ℜ 3×3 ist: rot −1<br />
i : ℜ 3×3 → ℜ 1 . Der<br />
Wertebereich umfasst hier<strong>bei</strong> α ∈ [ − π . . . π [.<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎠<br />
(10)<br />
(11)<br />
α (rotx (α)) = atan2 (sin(α), cos(α)) (12)<br />
Diese Abbildung ist damit für den angegebenen Wertebereich bijektiv. Die Funktion<br />
atan2 (x, y) entspricht der Funktion atan (x/y), bis auf die Erweiterung des<br />
Wertebereichs auf α ∈ [ − π . . . π [, was durch die Ausnutzung <strong>bei</strong>der Vorzeichen<br />
ermöglicht wird. Die Umkehrabbildung von (φ, ψ, χ) (Kx,y,z (φ, ψ, χ)) : ℜ 3×3 → ℜ 3<br />
wird für jeden Winkel getrennt berechnet:<br />
φ (Kx,y,z (φ, ψ, χ)) = atan2 (sin(φ)cos(ψ), cos(φ)cos(ψ))<br />
= atan2 (Kx,y,z [2, 3] , Kx,y,z [3, 3])<br />
φ ∈ [ − π . . . π [<br />
8<br />
(13)
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