Menschmodelle bei niedrigen Beschleunigungen Helmut Mutschler

Bewegungsgleichungen
Die Jakobimatrix der Parametrisierung der Rotationsmatrix durch die Kardanwinkel
(Gl. 8) ist definiert als Abbildung von ℜ 3 → ℜ 3×3×3 . Damit lässt sich die Jakobimatrix
nur abschnittsweise wiedergeben:
⎧
⎨
⎩
JK = ∂ {K (φ, ψ, χ)} /∂ {φ, ψ, χ} (24)
JK,φ = ∂K (φ, ψ, χ) /∂φ =
0 0 0
cos(φ)sin(ψ)cos(χ)+sin(φ)sin(χ) cos(φ)sin(ψ)sin(χ)−sin(φ)cos(χ) cos(φ)cos(ψ)
−sin(φ)sin(ψ)cos(χ)+cos(φ)sin(χ) −sin(φ)sin(ψ)sin(χ)−cos(φ)cos(χ) −sin(φ)cos(ψ)
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
�
�
�
JK,φ � φ=0,ψ=0,χ=0
⎧
⎨ 0 0
⎫
0 ⎬
= 0
⎩
0
0
−1
1
⎭
0
JK,ψ = ∂K (φ, ψ, χ) /∂ψ =
−sin(ψ)cos(χ) −sin(ψ)sin(χ) −cos(ψ)
sin(φ)cos(ψ)cos(χ) sin(φ)cos(ψ)sin(χ) −sin(φ)sin(ψ)
cos(φ)cos(ψ)cos(χ) cos(φ)cos(ψ)sin(χ) −cos(φ)sin(ψ)
�
�
�
JK,ψ � φ=0,ψ=0,χ=0
⎧
⎨ 0 0 −1
= 0
⎩
1
0
0
0
0
JK,χ = ∂K (φ, ψ, χ) /∂χ =
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
−cos(ψ)sin(χ) cos(ψ)cos(χ) 0
−sin(φ)sin(ψ)sin(χ)−cos(φ)cos(χ) sin(φ)sin(ψ)cos(χ)−cos(φ)sin(χ) 0
−cos(φ)sin(ψ)sin(χ)+sin(φ)cos(χ) cos(φ)sin(ψ)cos(χ)+sin(φ)sin(χ) 0
�
�
�
JK,χ � φ=0,ψ=0,χ=0
⎧
⎨ 0 1
⎫
0 ⎬
= −1
⎩
0
0
0
0
⎭
0
Die Gleichungen 25 bis 27 zeigen zum einen die korrekte tensorielle Form von Gleichung
21 für die Parametrisierung der Rotationsmatrizen durch die Kardanwinkel,
zum anderen, dass bei kleinen Winkelauslenkungen (φ = 0, ψ = 0, χ = 0) die Kardanwinkel
auf dem euklidischen Koordinatensystem liegen.
12
⎭
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
(25)
(26)
(27)