O+P Fluidtechnik 5/2016

SIMULATION
Der Druckverlauf in der Flüssigkeit in der Blasenumgebung kann
durch die Impulserhaltungsgleichung ermittelt werden.
Aus der Energieerhaltungsgleichung ergibt sich unter der Vernachlässigung
des viskositätsabhängigen Energieterms der Temperaturverlauf
in der Blasenumgebung, Gl. 3-7.
3.3 EINBINDUNG DES STOFFAUSTAUSCHES
ZWISCHEN BLASE UND FLÜSSIGKEIT
In Abhängigkeit des partiellen Drucks des Dampfs einer Flüssigkeit
in der darüber liegenden Gasphase, verdampft ein Teil der Flüssigkeit
oder kondensiert der Dampf. Ein Stoffaustausch findet so lange
statt, bis der partielle Dampfdruck in der Gasphase dem Sättigungsdampfdruck
entspricht und sich ein Gleichgewichtszustand einstellt.
Der Sättigungsdampfdruck eines Stoffes lässt sich mit Hilfe
der Antoine-Gleichung [Kne13] berechnen oder experimentell bestimmen.
In diesem Zusammenhang ist es nützlich die relative Feuchte ϕ
einzuführen, die den partiellen Dampfdruck p d
mit dem Sättigungsdampfdruck
p sat
ins Verhältnis setzt, Gl. 3-8. Ist die relative Feuchte
größer als eins, so findet Kondensation statt, ist sie kleiner als eins
verdampft Öl. Im Gleichgewichtszustand gilt ϕ=1.
Die Berücksichtigung des Phasenübergangs in der Blasendynamik
hat drei Folgen. Zum einen ändert sich die Geschwindigkeit an der
Wand der Blase und an der Phasengrenze kommt bei der Energiebilanz
der Term der Verdampfungs- bzw. Kondensationsenthalpie
hinzu. Des Weiteren muss die Temperaturgleichung innerhalb der
Blase für ein Stoffgemisch betrachtet werden.
Die Geschwindigkeit der Verdampfung bzw. der Kondensation
kann mit der Hertz-Knudsen Gleichung /Pic98/ berechnet werden.
Im Folgenden wird von quasistationären Zuständen ausgegangen
und die Zeitabhängigkeit des Phasenwechsels aufgrund der geringen
Dimensionen vernachlässigt.
3.4 RANDBEDINGUNGEN UND
KOPPLUNG DER GLEICHUNGEN
Gekoppelt werden die oben vorgestellten Gleichungen durch die Bedingungen
am Blasenrand, der Massenbilanz, der Impulsbilanz und
der Energiebilanz. Der in die Blase eintretende Massenstrom aufgrund
von Verdampfung ist gleich dem austretenden Massenstrom
der Flüssigkeit. Findet Kondensation statt, ist der aus der Blase austretende
Massenstrom gleich dem Zugewinn an Masse in der Flüssigkeit.
Wird die Impulsbilanz an der Blasenoberfläche aufgestellt, so ergibt
sich die Rayleigh-Plesset-Gleichung [Sto00], Gl. 3-9, unter Vernachlässigung
der Viskosität der Flüssigkeit. Sie beschreibt die Geschwindigkeit
und Beschleunigung der Blasenwand in Abhängigkeit
des Flüssigkeitsdrucks und der Oberflächenspannung.
Während der Kompression und dem damit verbundenen Temperaturanstieg
innerhalb der Blase fließt ein flächenspezifischer Wärmestrom
aus der Blase in die Flüssigkeit hinein und wird innerhalb
der Flüssigkeit als Wärmestrom von der Wand abgeführt. Diese
Wärmeströme lassen sich mit Hilfe des Fourierschen Gesetzes als
Funktion der Wärmeleitfähigkeit des Gases und der Flüssigkeit beschreiben.
An der Oberfläche der Blase tritt entweder Verdampfung
oder Kondensation auf, sodass die Verdampfungsenthalpie bzw.
die Kondensationsenthalpie Δ hVer/Kond
berücksichtigt werden muss.
Mit der Clausius-Clapeyron-Gleichung kann die Verdampfungsenthalpie
zwischen zwei Wertepaaren, bestehend aus Sättigungsdampfdruck
und der dazugehörigen Temperatur, berechnet werden
[Bre96].
Zur Berechnung der Temperaturverteilung innerhalb der Blase,
ausgehend von einer Druckerhöhung in der Flüssigkeit, müssen die
zuvor aufgestellten partiellen Differentialgleichungen nach der Zeit
und dem Ort gelöst werden. Eine Schwierigkeit hierbei ist, dass der
Druck in der Gasblase nicht dem Flüssigkeitsdruck entspricht, sondern
sich aufgrund der Blasendynamik in Abhängigkeit von der
Druckänderungsgeschwindigkeit in der Flüssigkeit träger verhält.
Die Änderungsrate ist abhängig von dem unbekannten Polytropenexponent
der Zustandsänderung.
4 IMPLEMENTIERUNG DER GLEICHUNGEN IN
MATLAB UND AUFBAU DER SIMULATION
Durch die Abhängigkeit des Blasendrucks und der Blasentemperatur
von der unbekannten Art der Zustandsänderung ist eine analytische
Lösung der Gleichungen nicht möglich und ein iteratives
Vorgehen zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen muss
gewählt werden. Zur Implementierung der Gleichungen in Matlab
müssen diese zunächst nach der Zeit und dem Ort diskretisiert werden.
Dies geschieht mit Hilfe des impliziten Verfahrens.
Der Anfangsblasenradius R 0 wird in ein Gitter mit r Abschnitten
aufgeteilt, wobei die Länge jedes Abschnitts Δr beträgt und sich somit
r+1 Gitterpunkte ergeben, siehe Bild 04-1 links. Die betrachtete
Zeitspanne wird in h Abschnitte unterteilt, die jeweils eine individuelle
Dauer von Δt n haben. An einem Gitterpunkt i hat die Blase
zu einem Zeitpunkt n einen Temperaturwert T in
. Im nächsten Zeitschritt
hat die Temperatur an dem gleichen Punkt i den Wert T i
n+1
,
siehe Bild 04-1.
Mit den zuvor hergeleiteten Beziehungen kann Gl. 3-9 in Gl. 3-10
umgeschrieben werden, mit der gemittelten Blasentemperatur
und der Wandtemperatur T W
.
04-1 Zeitschrittabhängige Diskretisierung der Radiuskoordinate
O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 5/2016 71