antriebstechnik 3/2017

Hierbei sind:
M t
: Torsionsmoment
d nenn
: Nenndurchmesser einer zylindrischen Welle mit zum M50-
Profil identischem Flächeninhalt des Querschnitts
a τ0/1
: Koeffizienten der maximalen Torsionsspannung
04 links: Nicht geeignete Abbildung nach Gln. (2a); rechts: Vollständig
abgebildeter Wellenbereich des M50-Profils mit z = 6 Mitnehmern und
einer bezogenen Exzentrizität ε = 2,3 ‰ und R m
= 17,7766 mm nach
Gln. (2b)
05 Numerisch und nach Gln. (3) ermittelte Verläufe der Torsionsspannung
τ t
über einem Mitnehmer des M50-Profils mit z = 6 sowie
ε = 2,3 ‰, R m
= 17,7766 mm und M t
= 500 Nm
z 4 6 8 10
ε [‰] 5,2 2,3 1,0 0,5
a τ 2,39481 2,42596 2,34116 2,27252
Tabelle 1: Koeffizienten a τ
für das M50-Profil
durch die Reduktion der bezogenen Exzentrizität ε erkennbar. Beide
Profilvarianten weisen das Maximum bei x norm
= 0,5 auf, d. h. im
Mitnehmerfuß der Profilkontur (siehe Piktogramm im Bild 02).
Die auf Grundlage dieser Vorgehensweise ermittelten Maximalspannungen
ergaben in Abhängigkeit einer variablen bezogenen
Exzentrizität ε sowie Mitnehmerzahl z (für die Profilvarianten aus
Bild 01) klare Tendenzen, welche die Basis für das zu entwickelnde
Berechnungsmodell bildeten. Dabei stellte sich für die maximale
Torsionsspannung τ t,max
ein linearer Zusammenhang zwischen dem
Einfluss der bezogenen Exzentrizität ε und Mitnehmerzahl z heraus,
dieser sich mittels der folgenden Gln. (1) beschreiben lässt.
Der linke Teil von Gln. (1) liefert die Nennspannung. Die Einflüsse
der bezogenen Exzentrizität ε sowie Mitnehmerzahl z sind im rechten
Teil von Gln. (1) enthalten. Die Ermittlung der darin enthaltenen
profiltypabhängigen Koeffizienten a τ0
sowie a τ1
soll anhand
Bild 03 näher erläutert werden.
Die Variation der bezogenen Exzentrizität ε bewirkt zunächst eine
Erhöhung bzw. Reduktion der Formzahl α τ
der Profilwelle, wie anhand
der in Bild 03 links dargestellten Tendenz erkennbar. Die zur
Bestimmung der Formzahl α τ
erforderliche Nennspannung τ t,nenn
wurde hierbei auf Grundlage einer zylindrischen Welle mit dem
Nenndurchmesser d nenn
berechnet. Zunächst wurde der Anstieg a 1
aus der linearen Regression dieser Tendenz für die untersuchten
Mitnehmerzahlen, in Bild 03 am Beispiel für z = 6, bestimmt. Im
Diagramm rechts werden die so ermittelten Anstiege für die im
Rahmen dieser Arbeit untersuchten Mitnehmerzahlen z = 6, 8 und
10 dargestellt. Auch diese Tendenz in Abhängigkeit der Mitnehmerzahl
z lässt sich wieder mittels linearer Regression beschreiben, womit
die profiltypabhängigen Koeffizienten a τ0
sowie a τ1
für Gln. (1)
entsprechend Bild 03 rechts bestimmt werden können.
Analytische Methode durch Anwendung
der konformen Abbildungen
Die komplexe Elastizitätstheorie bietet mit Hilfe der konformen Abbildungen
die genaue Formulierung und Herleitung geschlossener
Lösungen für torsionsbelastete unrunde Profile, wenn die Abbildungsfunktion
bekannt ist. Der Kernpunkt derartiger Lösungen
besteht im Auffinden geeigneter Funktionen, welche den Innenbereich
eines Kreises mit dem Radius eins auf dem Profilgebiet konform
abbilden [6]. Für die M50-Profile kann keine vollständige „geeignete“
Abbildungsfunktion direkt aus den Parametergleichungen
hergeleitet werden. Dies wird vor allem von den mehrfachen Polen
in der komplexen Konturgleichung verursacht (Bild 04 links). Die
aus den Parametergleichungen hergeleitete „unvollständige“ Abbildungsfunktion
kann jedoch annähernd als eine Teilabbildung
zur Ermittlung der Spannungen im Fußbereich eingesetzt werden.
Diese Methode hat in vielen Fällen insbesondere bei den kleinen
Exzentrizitätswerten eine gute Übereinstimmung mit den numerischen
Ergebnissen gezeigt. Die hergeleiteten Gleichungen sind
direkt von den Profilgleichungen abhängig und weisen die entsprechende
Größe auf. Eine zweite Methode ist die sukzessive Näherungsweise
nach [8]. Diese Methode stellt zwar eine größere Genauigkeit
der Profilabbildung (Bild 04 rechts) und demzufolge eine
geschlossene Lösung dar, die Gleichungen können jedoch so groß
sein, dass eine Programmierung zur Ermittlung der Spannungen
notwendig wird. Das Konvergenzverhalten dieser Methode kann
für kleine Exzentrizitätswerte (bzw. für große Mitnehmerzahlen)
für das untersuchte Profil mathematisch nachgewiesen werden [8].
Bei dem untersuchten M50-Profil mit z = 6 Mitnehmern und einer
bezogenen Exzentrizität von ε = 2,3 ‰ ergibt sich die direkt aus
den Parametergleichungen hergeleitete Abbildung entsprechend
Gln. (2a), welche jedoch wie oben erwähnt nicht vollständig bzw.
zum Einsatz in der Torsionstheorie ungeeignet ist (Bild 04 links).
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