1.Algebra Booster

Complex Numbers 4.7
Ê2pˆ Ê2pˆ
Let a = cosÁ + i sin
Ë
˜ Á ˜
n ¯ Ë n ¯
Then the nth roots of unity are a t , where t = 0, 1, 2, 3, …,
n – 1
Thus, the nth roots of unity are
1, a, a 2 , a 3 , …, a n – 1 .
4.13.1 Properties of the nth Roots of Unity
(i) The sum of the nth roots of unity is zero.
Proof: We have 1 + a + a 2 + a 3 + … + a n – 1
n
1 - a
=
1 - a
n
Ê Ê2pˆ Ê2pˆˆ
1 - Ácos + i sin
Ë
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯˜
¯
=
1 - a
Ê Ê2p
ˆ Ê2p
ˆˆ
1 - cos ¥ n + isin
¥ n
Ë
Á Ë
Á
n ¯
˜
Ë
Á
n ¯
˜
¯
˜
=
1 - a
1 -[cos(2 p) + i sin(2 p)]
=
1 - a
1-
1
=
1 - a
= 0
(ii) The sum of the pth powers of the nth roots of unity is
also zero.
Proof: We have 1 p + a p + a 2p (n – 1)p
+ … + a
= 1 + (a p ) + (a p ) 2 + (a p ) 3 + … + (a p ) n – 1
np
1 - a
=
1 -
p
a
1-1 È
n Ê Ê2pˆ Ê2pˆˆ
= cos i sin
p Í a = Á Á ˜ + Á ˜
1 a
n n
˜
- Î Ë Ë ¯ Ë ¯¯
Ê2p
ˆ Ê2p
ˆ
= cosÁ ¥ n + isin
¥ n
Ë
˜ Á ˜
n ¯ Ë n ¯
= cos(2p) + i sin(2p) = 1
fi a np = 1 p = 1]
= 0
Hence, the result.
(iii) The product of the nth roots of unity is (–1) n – 1 .
Proof: Let P = 1 ◊ a ◊ a 2 ◊ a 3 …a n – 1
1 + 2 + 3 + … + (n – 1)
= a
n -1
(1+ n-1)
= a
2
n
( 2 )
n-1
= a
= (–1) n – 1
È n
2p
2p
a
Ê 2
Ê ˆ Ê ˆ
Í = ÁcosÁ ˜ + i sin Á ˜
ˆ
Ë Ë n ¯ Ë n ¯˜
Î
¯
n/2
n
Ê2p
2
= cos
n ˆ Ê
isin
p n ˆ
Á ¥ + ¥
Ë
˜
n 2¯ Á
Ë
˜
n 2¯
= cos(p) + i sin(p) = –1]
(iv) The nth roots of unity are in GP with the common ratio
i 2
( n )
a. i.e.
e p .
(v) In the complex plane, the nth roots of unity are located
on the circumference of the unit circle and divide it into
n equal arcs.
(vi) If 1, a, a 2 , a 3 , …, a n – 1 be the nth roots of unity, then
x n – 1 = (x – 1)(x – a)(x – a 2 )…(x – a n – 1 )
(vii) If 1, a, a 2 , a 3 , …, a n – 1 be the nth roots of unity, then
Ê2pˆ Ê4pˆ Ê6pˆ
(a) cosÁ + cos + cos + …
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Ê2( n - 1) p ˆ
+ cosÁ
= 0
Ë
˜
n ¯
2 4 6
(b)
Ê pˆ Ê pˆ Ê pˆ
sin Á + sin + sin +º
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Ê2( n - 1) p ˆ
+ sin Á = 0
Ë
˜
n ¯
Proof: Now, 1 + a + a 2 + … + a n – 1 = 0
fi
n-1
Â
k = 0
n-1
a
k
= 0
fi
Ê Ê2pˆ Ê2pˆˆ
 ÁcosÁ ˜ + i sin Á ˜
k = 0 Ë Ë n ¯ Ë n ¯˜
¯
= 0
fi
n-1
Ê Ê2kpˆ Ê2kpˆˆ
 ÁcosÁ ˜ + i sin Á ˜ = 0
k = 0 Ë Ë n ¯ Ë n ¯˜
¯
fi
Ê Ê2pˆ Ê2pˆˆ
Ácos
+ isin
Ë
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯˜
¯
Ê Ê4pˆ Ê4pˆˆ
+ Ácos + isin + …
Ë
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯˜
¯
Ê Ê2( n – 1) p ˆ Ê2( n – 1) p ˆˆ
+ Ácos + isin Á ˜ = 0
Ë
Á
Ë
˜
n ¯ Ë n ¯˜
¯
fi
Ê2pˆ Ê4pˆ Ê6pˆ
cosÁ + cos + cos + … +
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Ê2( n -1) pˆ Ê Ê2pˆ Ê4pˆ
cos Á + i sin + sin + …
Ë
˜
n ¯ Á
Ë
Á
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯
Ê2( n -1)
p ˆˆ
+ sin Á
= 0
Ë
˜˜
n ¯¯
Thus,
Ê2pˆ Ê4pˆ Ê2( n - 1) pˆ
cosÁ + cos +º+ cosÁ ˜
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯ Ë n ¯
and
Ê2pˆ Ê4pˆ Ê2( n - 1) pˆ
sin Á + sin +º+ sin Á ˜ = 0
Ë
˜
n ¯
Á
Ë
˜
n ¯ Ë n ¯
Hence, the result.
k