1.Algebra Booster

Matrices and Determinants 7.35
Now, A 2 – 4A – 5I 3
22. We have
fi
fi
Ê1+ 4+ 4 2+ 2+ 4 2+ 4+
2ˆ
= Á2+ 2+ 4 4+ 1+ 4 4+ 2+
2˜
Á
˜
Ë2+ 4+ 2 4+ 2+ 2 4+ 4+
1¯
Ê9 8 8ˆ
= Á8 Á
9 8˜
˜
Ë8 8 9¯
Ê9 8 8ˆ Ê1 2 2ˆ Ê1 0 0ˆ
= Á8 9 8˜ -4Á2 1 2˜ -5Á0 1 0˜
Á ˜ Á ˜ Á ˜
Ë8 8 9¯ Ë2 2 1¯ Ë0 0 1¯
Ê9 8 8ˆ Ê4 8 8ˆ Ê5 0 0ˆ
= Á8 9 8˜ -Á8 4 8˜ -Á0 5 0˜
Á ˜ Á ˜ Á ˜
Ë8 8 9¯ Ë8 8 4¯ Ë0 0 5¯
Ê0 0 0ˆ
= Á0 0 0˜
= 0
Á ˜
Ë0 0 0¯
Ê 1 3 2ˆÊ1ˆ
(1 x 1) Á 2 5 1˜Á2˜ = 0
Á ˜Á ˜
Ë15 3 2¯Ëx¯
Ê 1+ 6+
2x
ˆ
(1 x 1) Á 2 + 10 + x˜
= 0
Á ˜
Ë15 + 6 + 2x¯
Ê 7+
2x
ˆ
(1 x 1) Á 12 + x ˜ = 0
Á ˜
Ë21 + 2x¯
fi (7 + 2x) + x(12 + x) + (21 + x) = 0
fi (7 + 2x) + 12x + x 2 + (21 + x) = 0
fi x 2 + 15x + 28 = 0
–15 ± 225 – 112 - 15 ± 113
fi x = =
2 2
Hence, the solution set is
23. We have
Ï- 15 + 113 - 15 + 113 ¸
Ì , ˝.
Ó 2 2 ˛
2
2 Êa 0ˆ Êa 0ˆ
Ê a 0ˆ
A = A◊ A= Á ◊ =
Ë1 1 ˜
¯ Á
Ë1 1 ˜
¯ Á ˜
Ëa
+ 1 1¯
Given relation is
A 2 = B
fi
Ê
2
a 0ˆ Ê1 0ˆ
Á ˜ = Á
a 1 1 Ë5 1
˜
Ë + ¯ ¯
fi a 2 = 1, a + 1 = 5
fi a = ±1, a = 4
24. We have A 2 = A.A
Êa
2ˆ Êa
2ˆ
= Á ◊
Ë2 a
˜
¯
Á
Ë2
a
˜
¯
Ê
2
a + 4 4a
ˆ
= Á
2
˜
Ë 4a
a + 4¯
Now, A 3 = A 2 .A
Ê
2
a + 4 4a ˆ Êa
2ˆ
= Á
2
˜ ◊Á 4a
a 4 2 a
˜
Ë + ¯ Ë ¯
Ê
3 2
a + 12a 6a
+ 8 ˆ
= Á
2 3
˜
Ë 6a + 8 a + 12a¯
Given |A 3 | = 125
fi
3 2
a + 12a 6a
+ 8
2 3
6a + 8 a + 12a
= 125
fi (a 3 + 12a) 2 – (6a 2 + 8) 2 = 125
fi (a 3 + 12a + 6a 2 + 8)(a 3 + 12a – 6a 2 – 8) = 125
fi (a 3 + 6a 2 + 12a + 8)(a 3 + 6a 2 + 12a – 8) = 125
fi (a + 2) 3 (a – 2) 3 = 125
fi {(a + 2)(a – 2)} 3 = (5) 3
fi (a + 2)(a – 2) = 5
fi a 2 – 4 = 5
fi a 2 = 9
fi a = ±3
25. Given AB = A and BA = B
Now A = AB
fi A 2 = ABA = AB = A
Similarly B 2 = B
We have,
(A + B) 2 = (A 2 + AB + BA + B 2 )
= (A + A + B + B)
= 2(A + B)
fi (A + B) 4 = 4(A + B) 2 = 8(A + B)
and (A + B) 3 = (A + B) 2 .(A + B)
= 2(A + B).(A + B) = 2(A + B) 2
= 4(A + B)
Thus,
(A + B) 7 = (A + B) 4 .(A + B) 3
= 32(A + B) 2 = 64(A + B)
Ê1 2ˆ Êa
bˆ
26. Given A= Á and B=
Ë3 4
˜
¯
Á
Ëc
d
˜
¯
Now,
Ê1 2ˆÊa
bˆ
AB = Á
Ë3 4 ˜Á
¯Ëc
d ˜
¯
Ê a+ 2c b+
2d
ˆ
= Á
Ë3a + 4c 3b+
4d
˜
¯