1.Algebra Booster

6.70 Algebra Booster
37. We have,
3
3!( -1)
=
( n + 1)( n + 2)( n + 3)
È
( n + 3)( n + 2) ˘
¥ Í- 1 + ( n + 3) -
Î
2 ˙˚
( ) 3 3
3! - 1 È ( n + 3)( n + 2) ˘
= ¥ ( n + 2) -
( n + 1)( n + 2)( n + 3) ÍÎ 2 ˚˙
3!( -1) 1
= ¥ - ( n + 2)( n + 3)
( n + 1)( n + 2)( n + 3) 2
3!
=
2( n + 3)
t r + 1
= 10 C r
(2 1/2 ) 10 – r (3 1/5 ) r
=
10
C r
10 - r
2
(2) (3)
where r = 0, 10
When r = 0, t 1
= 10 C 0
(2) 5 (3) 0 = 32
When r = 10, t 11
= 10 C 10
(2) 0 (3) 2 = 9
Therefore the sum of the rational terms,
t 1
+ t 11
= 32 + 9 = 41
38. We have,
fi
fi
n
Â
r = 0
2
Ê
Á
Ë
n
Â
r ˆ
n
C ˜
¯
r
n
r= 0 Cr
r=
0
n
r
5
Ê n - r ˆ
= Â Á n
r = 0 C ˜
Ë n-
r¯
n
n
Ê n ˆ Ê r ˆ
= Â -
Á ˜ ÂÁ ˜
Ë ¯ Ë ¯
n
n
r= 0 Cn-r r=
0 Cn-r
n
n
Ê 1 ˆ Ê r ˆ
= nÂÁ ˜
-ÂÁ n
Ë ¯ Ë C ˜
¯
n
r= 0 Cr
r=
0
n
Ê r ˆ Ê 1 ˆ
n
na
Á ˜
= ÂÁ =
n
Ë ¯ Ë C ˜
¯
n
Ê r ˆ nan
 Á n =
r = 0Ë
C ˜ 2
r ¯
39. We have,
(1 + x) m (1 – x) n
= (1 + m C 1
x + m C 2
x 2 + …) ¥ (1 – n C 1
x + n C 2
x 2 – …)
Now, co-efficient of x = 3
fi m C 1
– n C 1
= 3
fi m – n = 3 …(i)
Also, co-efficient of x 2 = –6
fi m C 2
+ n C 2
– m C 1
¥ m C 1
= –6
fi
mm ( -1) nn ( -1)
+ - mn = -6
2 2
fi m(m – 1) + n(n – 1) – 2mn = –12
fi m 2 + n 2 – 2mn – (m + n) = –12
fi (m – n) 2 – (m + n) = –12
fi (–3) 2 – (m + n) = –12
fi –(m + n) = –21
r
n
r
fi |m + n| = 21 …(ii)
Solving Eqs (i) and (ii), we get
m = 12 and n = 9.
Hence, the value of m is 12.
40. For a +ve integer n.
1 1 1
Let an ( ) = 1 + + + + , then
2 3 2n
- 1
(a) a(100) £ 100 (b) a(100) > 100
(c) a(200) £ 100 (d) a(200) > 100
[IIT-JEE, 1999]
41. Let n be any +ve integer. Prove that
m
Â
k = 0
ÊÊ2n
- kˆˆ
ÁÁ
Ë k ˜
¯˜
Á ˜
Ê2n - 4k
+ 1ˆ
¥ ¥ 2
ÁÊ2k - kˆ˜
Á
Ë2n - 2k
+ 1˜
¯
Á
k
˜
Ë
Á
Ë
˜
¯¯
Ê Ênˆ
ˆ
Á Á
Ëm˜
¯ ˜
n-
2m
= Á ˜ ¥ 2
ÁÊ2n
- 2mˆ˜
ÁÁ
n - m ˜˜
ËË
¯¯
for each non –ve integer m £ n
Ê Ê pˆ p
ˆ
Here = Cq
Ë
Á Ë
Áq¯
˜
¯
˜
Solution:
Ênˆ Ê n ˆ Ê n ˆ
42. Á + 2 +
Ër˜ ¯
Á
Ër -1˜ ¯
Á
Ër
- 2˜
¯
43. We have,
= n C r
+ 2 n C r – 1
+ n C r – 2
= ( n C r
+ n C r – 1
) + ( n C r – 1
+ n C r – 2
)
= ( n + 1 C r
+ n + 1 C r – 1
)
= n + 2 C r
Ênˆ Ên -1ˆ Ên - 2ˆ Êmˆ
Á + + + +
Ëm˜ ¯
Á
Ë m ˜
¯
Á
Ë m ˜
¯
Á
Ëm˜
¯
n-
2k
[IIT-JEE, 1999]
= Co-efficient of x m in the expansion of
(1 + x) n + (1 + x) n – 1 + (1 + x) n – 2 + … + (1 + x) m
= (1 + x) m ((1 + x) n – m + (1 + x) n – m – 1 + (1 + x) n – m – 2
+ … + 1)
n m 1
m
Ê
- +
(1 + x) -1ˆ
= (1 + x)
Á
Ë (1 + x) -1
˜
¯
n m 1
m
Ê
- +
(1 + x) -1ˆ
= (1 + x)
Á
Ë
˜
x ¯
Ê
n+
1
m
(1 + x) -(1 + x)
ˆ
= Á
Ë
˜
x ¯
fi Co-efficient of x m + 1 in the expansion of
(1 + x) n + 1 – (1 + x) m
n+
1 Ên
+ 1ˆ
= Cm+
1 = Á
Ëm
+ 1 ˜
¯