1.Algebra Booster

Sequence and Series 1.39
Now,
a
b
a
fi r =
b
Hence, the result.
84. We have,
2 4 198
ar(1 + r + r + … + r )
=
2 4 198
(1 + r + r + … + r )
( 2 + 1)
Sum =
Ê 1 ˆ
1 - Á
Ë 2 + 1 ˜
¯
( 2 + 1)
=
1 - ( 2 - 1)
( 2+
1)
=
2-
2
( 2 + 1)
=
2( 2 - 1)
2
( 2 + 1) ( 2 + 1) Ê3+
2 2ˆ
= = = Á ˜
2( 2 - 1) 2 Ë 2 ¯
85. We have,
1 1 1 1 1 1
Sum 2 3
2 2
3 3
4 2
5 3
6
Ê1 1 1 ˆ Ê 1 1 1 ˆ
= Á + + +º + + + +º
Ë 3 5 ˜ 2 4 6
2 2 2 ¯
Á
Ë
˜
3 3 3 ¯
Ê 1 ˆ Ê 1 ˆ
Á
2
2 ˜ Á 3 ˜
= Á
1
˜ +Á
1
˜
Á1- ˜ Á1-
˜
Ë 2 2
2 ¯ Ë 3 ¯
2 1 19
= + =
3 8 24
86. We have,
b = a + a 2 + a 3 + …
a
fi b =
1 - a
fi b – ab = a
fi a(1 + b) = b
b
fi a =
(1 + b)
Hence, the result.
87. We have,
a a
x a ...
2
r r
a ar
fi x = =
1
1 -
r - 1
r
Similarly,
b br
y = =
1
1 +
r + 1
r
2
cr
1 2
r - 1
2
and z =
c
=
1 -
r
2
abr
Now,
2
xy r - 1 ab
= =
2
z cr c
2
r - 1
88. We have,
x = 1 + a + a 2 + …
fi
1
x 1 fi
1
1–a =
x
fi
x - 1
a =
x
y - 1
Similarly, b =
y
Now,
1 + ab + (ab) 2 + (ab) 3 + …
1
=
1 - ab
1
=
Ê x -1ˆÊ
y -1ˆ
1 - Á
Ë x
˜Á ¯Ë y
˜
¯
xy
=
xy - ( xy - x - y + 1)
xy
=
x + y -1
89. We have,
A = 1 + r a + r 2a + … to
fi
1
A =
a
1 - r
fi
a 1
(1 - r ) =
A
fi
a Ê 1 ˆ
r = Á1
-
Ë
˜
A¯
fi
1/
Ê A –1ˆ
a
r = Á
Ë
˜
A ¯
1/
ÊB –1ˆ
b
Similarly, r = Á
Ë
˜
B ¯
Ê A-
1 ˆ ÊB
–1ˆ
Hence, Á = r =
Ë
˜ Á ˜
A ¯ Ë B ¯
90. We have,
x = Â q
2
cos n
n=
0
1/ a
1/ b
= 1 + cos 2 q + cos 4 q + cos 6 q + …
= 1 =
1
2 2
1–cos q sin q