1.Algebra Booster

Complex Numbers 4.63
54. Put z = x + iy
z - 4
Now, = 1
z - 8
fi |z – 4| = |z – 8|
fi |z – 4| 2 = |z – 8| 2
fi |(x – 4) + iy| 2 = |(x – 8) + iy| 2
fi (x – 4) 2 + y 2 = (x – 8) 2 + y 2
fi (x – 4) 2 = (x – 8) 2
fi x 2 – 8x + 16 = x 2 – 16x + 64
fi 8x = 48
fi x = 6
Also,
z - 12 5
=
z - 8i
3
fi 9|z – 12| 2 = 25|z – 8i| 2
fi 9|(x – 12) + iy| 2 = 25|x + i(y – 8)| 2
fi 9|(x – 12) 2 + y 2 ) = 25(x 2 + (y – 8) 2 )
fi 9(36 + y 2 ) = 25(36 + (y – 8) 2 )
fi 25(y – 8) 2 – 9y 2 = 324 – 900 = –576
fi 16y 2 – 400y + 25.64 = –576
fi y 2 – 25y + 25.4 = –36
fi y 2 – 25y + 136 = 0
fi (y – 18)(y – 8) = 0
fi y = 8, 18
Hence, the complex numbers are 6 + 8i, 6 + 18i.
55. Given equation is
4
2 2 x = ( 3 - 1) + i( 3 + 1)
fi
4 ( 3 - 1) ( 3 + 1)
x = + i
2 2 2 2
fi x 4 = cos (15°) + i sin (15°)
fi
fi
4 Ê p ˆ Ê p ˆ
x = cosÁ + isin
Ë
˜ Á ˜
12¯ Ë12¯
È Ê p ˆ Ê p ˆ˘
x= ÍcosÁ + isin
Ë
˜ Á ˜
12¯ Ë12¯˙
Î
˚
where k = 0, 1, 2, 3.
56. Put z = x + iy
Now, |z – 3 + i| = 3
1/4
È Ê p ˆ Ê p ˆ˘
= ÍcosÁ2pk + + isin 2pk
+
Ë
˜ Á ˜
12¯ Ë 12¯˙
Î
˚
È Êpk
p ˆ Êpk
p ˆ˘
= Ícos + + isin
+
Ë
Á ˜ Á ˜
2 48¯ Ë 2 48¯˙
Î
˚
fi |x + iy – 3 + i| = 3
fi |(x – 3) + i(y + 1)| = 3
fi
2 2
( x –3) + ( y + 1) = 3
fi (x – 3) 2 + (y + 1) 2 = 9
fi x 2 + y 2 – 6x + 2y + 1 = 0 …(i)
1/4
Ê3z
-6-3iˆ p
Also, Arg Á
=
Ë 2 z - 8 - 6 i˜
¯ 4
fi
fi
Arg Ê3x + i3y -6-3iˆ p
Á
=
Ë 2 x + i 2 y - 8 - 6 i˜
¯ 4
Arg Ê 3x - 6 + i3( y -3)
ˆ p
Á
=
Ë (2 x - 8) + i 2( y - 3) ˜
¯ 4
Ê{(3x- 6) + i3( y - 1)} ¥ ˆ
Á{(2x-8) -2 i( y -3)}
˜ p
Arg
˜ =
Ë (2x- 8) + 4( y -3)
¯ 4
fi Á
2 2
fi
fi
fi
fi
Ê(3x - 6)(2x - 8) + 6( y-1)
ˆ
Á 3( y -1)(2x
-8)
˜
Á
Ï
¸
( y - 3) + iÌ ˝˜
Á
2( y 3)( x 6) p
Arg
Ó- - - ˛ ˜
Á
2 2 ˜ =
Ë (2x
- 8) + 4( y -3)
¯ 4
-1 Ê3( y -1)(2x-8) -2( y -3)( x-6)
ˆ p
tan Á
=
Ë(3x-6)(2x- 8) + 6( y -1)( y -3) ˜
¯ 4
Ê3( y -1)(2x-8) -2( y -3)( x-6)
ˆ
Á
= 1
Ë(3x-6)(2x- 8) + 6( y -1)( y -3)
˜
¯
Ê( y -1)( x- 4) -( y -3)( x-
2) ˆ
Á
= 1
Ë( x-2)( x- 4) + ( y -1)( y -3)
˜
¯
fi x 2 + y 2 – 8x – 2y + 13 = 0 …(ii)
Subtracting Eqs (i) and (ii), we get
x = 6 – 2y
Put this the value of x in (i), we get
fi (6 – 2y) 2 + y 2 – 6(6 – 2y) + 2y + 1 = 0
fi 5y 2 – 10y + 1 = 0
fi
2 1 4
y - 2y
+ 1= 1- =
5 5
ˆ
fi ( y - 1) = Á
Ë ˜
5 ¯
2
fi y = 1 ±
5
Thus,
Ê
x= 6- 2y
= 6 – 2Á1±
Ë
Ê 4 ˆ
= Á 4
Ë ˜
5 ¯
2 Ê 2
2
2 ˆ
˜
5 ¯
Hence, the required complex numbers will be
Ê 4 2
4 ˆ i
Ê 1
ˆ 4 2
Á - ˜ + Á +
Ë
˜ 4 1
5¯ Ë 5¯,
Ê Á + ˆ + i
Ê -
ˆ
Ë
˜ Á ˜
5¯ Ë 5¯
2
57. Given 2| z| + z - 5 + i 3 = 0
Put z = x + iy,
2 2 2 2
2( x + y ) + ( x - y ) + i2xy - 5 + i 3 = 0
fi
2 2
(3x + y - 5) + i(2xy
+ 3) = 0