1.Algebra Booster

Binomial Theorem 6.21
Ê Ênˆ
ˆ
Á Á
Ëm˜
¯ ˜
n-
2m
= Á ˜ ¥ 2
ÁÊ2n
- 2mˆ˜
ÁÁ
n - m ˜˜
ËË
¯¯
Ê Ê pˆ for each non-negative integer m £ n. here =
Ë
Á Ë
Áq¯
˜
[IIT-JEE, 1999]
Ênˆ Ê n ˆ Ê n ˆ
42. For 2 £ r £ n, Á + 2 + =
Ër˜ ¯
Á
Ër -1˜ ¯
Á
Ër
- 2˜
¯
(a)
(c)
Ên
+ 1ˆ
Ên
+ 1ˆ
Á
Ër
- 1˜
(b) 2
¯
Á
Ër
- 1˜
¯
Ên
+ 2ˆ
Ên + 2ˆ
Á
Ë r ˜
(d) 2
¯
Á
Ë 2 ˜
¯
[IIT-JEE, 2000]
43. For any positive integers m, n (with n ≥ m),
Êmˆ let Á =
Ën˜
¯
n
C
m
. Prove that
Ênˆ Ên -1ˆ Ên - 2ˆ Êmˆ Ên
+ 1ˆ
Á + + + + =
Ëm˜ ¯
Á
Ë m ˜
¯
Á
Ë m ˜
¯
Á
Ëm˜ ¯
Á
Ëm
+ 1˜
¯
Hence or otherwise prove that
Ênˆ Ên -1ˆ Ên
- 2ˆ
Á + 2 + 3 +
Ëm˜ ¯
Á
Ë m ˜
¯
Á
Ë m ˜
¯
Êmˆ Ên
+ 2ˆ
+ ( n - m+ 1) Á =
Ëm˜ ¯
Á
Ëm+
2˜
¯
[IIT-JEE, 2001]
44. In the binomial expansion of (a – b) n , n ≥ 5, the sum of
5th and 6th terms is zero, then a b is
(a)
(c)
Ên - 5ˆ
Ên - 4ˆ
Á
Ë
˜
6 ¯
(b) Á `
Ë
˜
5 ¯
Ê 5 ˆ
Ê 6 ˆ
Á
Ën
- 4˜
(d)
¯
Á
Ën
- 5˜
¯
[IIT-JEE, 2002]
p
C
q
ˆ
¯
˜
45. The sum of m
Ê10ˆÊ 20 ˆ
Á ,
r = 0Ë i ˜Á
¯Ëm-
i˜
¯
Ê pˆ Á = 0, if p > q
Ëq˜
¯
,
is maximum, when m is
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 20
[IIT-JEE, 2002]
46. The co-efficient of t 24 in (1 + t 2 ) 12 (1 + t 12 )(1 + t 24 ) is
(a) 12 C 6
+ 3 (b) 12 C 6
+ 1 (c) 12 C 6
(d) 12 C 6
+ 2
[IIT-JEE, 2003]
47. Prove that
kÊnˆÊnˆ k-1ÊnˆÊn-1ˆ k-2ÊnˆÊn-2ˆ
2 Á -2 -2
Ë0˜Á ¯Ëk˜ ¯
Á
Ë1˜Á ¯Ëk -1˜ ¯
Á
Ë2 ˜Á
¯Ëk
-2˜
¯
+
k ÊnˆÊn-
kˆ Ênˆ
+ (- 1) Á =
Ëk˜Á ¯Ë 0 ˜
¯
Á
Ëk˜
¯
[IIT-JEE, 2003]
48. If n C r+1
= (k 2 – 3) n–1 C r
, then k lies in
(a) (– , 2] (b) (2, )
(c) [- 3, 3] (d) ( 3,2]
[IIT-JEE, 2004]
49.
Ê30ˆÊ30ˆ Ê30ˆÊ30ˆ Ê30ˆÊ30ˆ Ê30ˆÊ30ˆ
Á - + - +
Ë 0 ˜Á
¯Ë10˜ ¯
Á
Ë 1 ˜Á
¯Ë11 ˜
¯
Á
Ë 2 ˜Á
¯Ë12˜ ¯
Á
Ë20 ˜Á
¯Ë30
˜
¯
is equal to
(a) 65 C 35
(b) 30 C 10
(c) 60 C 10
(d) 30 C 11
[IIT-JEE, 2005]
No questions asked in between 2006 to 2009.
50. For r = 0, 1, 2, …, 10, let A r
, B r
and C r
denote respectively,
the co-efficients of x r in the expansion of (1 + x) 10 ,
(1 + x) 20 and (1 + x) 30 .
10
Then  Ar( B10Br - C10Ar)
is equal to
r = 1
(a) B 10
– C 10
2
(b) A 10
(B 10
– C 10
A 10
)
(c) 0 (d) C 10
– B 10
[IIT-JEE, 2010]
No questions asked in 2011 and 2012.
51. The coefficients of three consecutive terms in the expansion
of (1 + x) n+5 are in the ratio 5 : 10 : 14. Then n
= ........ [IIT-JEE, 2013]
52. The coefficient of x 11 in the expansion of
(1 + x 2 ) 4 (1 + x 3 ) 7 (1 + x 4 ) 12 is
(a) 1051 (b) 1106 (c) 1113 (d) 1120
[IIT-JEE, 2014]
ANSWERS
LEVEL II
1. (a) 2. (a) 3. (c) 4. (a) 5. (a)
6. (c) 7. (d) 8. (d) 9. (a) 10. (a)
11. (c) 12. (c) 13. (b) 14. (b,c,d) 15. (a)
16. (b) 17. (b) 18. (b) 19. (c) 20. (a)
21. (b) 22. (d) 23. (d) 24. (c) 25. (d)
26. (c) 27. (d) 28. (c) 29. (d) 30. (a,b,d)
31. (b) 32. (b) 33. (c) 34. (c) 35. (c)
36. (c) 37. (c) 38. (b) 39. (a) 40. (d)
41. (c) 42. (b) 43. (b) 44. (b) 45. (a)
46. (c) 47. (a) 48. (b) 49. (a) 50. (b)