1.Algebra Booster

Complex Numbers 4.9
i.e. z represents the point P and wz represents the point
2p
Q, where – POQ = .
3
7. Relation between z and w 2 z
Let z = re iq .
4
2 Ê4pˆ Ê4pˆ
i
w = cos isin
e p
Á + =
Ë
˜ Á ˜
3
3 ¯ Ë 3 ¯
Then
( )
2 i( ) ( )
Now, 4 p
i 4 p
3 iq
q +
3
w z = e ◊ re = re
i.e. z represents the point P and w 2 z represents the point
4p
Q, where – POQ = .
3
X¢
4p
3
O
Y
q
P( z)
X
fi
Ê2z3-2z1- z2+
z1ˆ 3
Á
=-
Ë 2( z2-
z1) ˜
¯ 4
fi (2z 3
– z 1
– z 2
) 2 = –3(z 2
– z 1
) 2
fi
2 2 2
(4z3 + z1 + z2 - 4zz 1 3- 4z2z3+
2 zz 1 2)
2 2
=- z2 + z1 - z1z2
fi
2 2 2
4( z1 + z2 + z3 - z1z2- z2z3- z1z3) = 0
fi 2 2 2
( z1 + z2 + z3 - z1z2- z2z3- z1z3) = 0
2
3( 2 )
which is the required condition.
2 2 2
Also, ( z1 + z2 + z3 - z1z2- z2z3- z1z3) = 0
fi (z 1
– z 2
)(z 2
– z 3
) + (z 2
– z 3
)(z 3
– z 1
)
+ (z 3
– z 1
)(z 1
– z 2
) = 0
Dividing both the sides by
(z 1
– z 2
)(z 2
– z 3
)(z 3
– z 1
), we get,
fi
fi
1 1 1
+ + = 0
z3- z1 z1- z2 z2-
z3
1 1 1
+ + = 0
z - z z - z z - z
1 2 2 3 3 1
which is also a condition for an equilateral triangle.
9. Condition of an Isosceles Right-angled Triangle
Cz ( 3)
w 2
Q( z)
8. Condition of an Equilateral Triangle
Y¢
Cz ( 3)
60°
Az ( 1)
Bz ( 2)
Here, DABC is an equilateral triangle.
z3 z1 z3 z1
i p
Ê - ˆ -
3
Á = ¥ e
Ë z2- z ˜
1¯
z2-
z1
fi
z3 z1 | z3 z1|
i p
Ê - ˆ -
e
3
Á = ¥
Ë z2- z ˜
1¯
| z2-
z1|
fi
z3 z1
i p
Ê - ˆ
3
Êpˆ Êpˆ
Á = e = cosÁ ˜ + isin
Á ˜
Ë z2-
z ˜ Ë
1¯
3¯ Ë 3¯
fi
Ê z3-
z1ˆ 1 3
Á = + i
Ë z2-
z ˜
1¯
2 2
fi
2
2
Ê z3-
z1
1ˆ
Ê 3ˆ
Á - =Ái
˜
Ë z - z 2˜ ¯ Ë 2 ¯
2 1
Bz ( 1)
Bz ( 2)
z3 z2 z3 z2
i p
Ê - ˆ - -
We have e
2
Á = ¥
Ë z1- z ˜
2¯
z1-
z2
z3 z2 | z3 z2|
i p
Ê - ˆ - -
fi e
2
Á = ¥
Ë z - z ˜
¯ | z - z |
1 2 3 2
Ê z - z ˆ = = - i
3 2 -i
p
fi e
2
Á
Ë z1-
z ˜
2¯
fi (z 3
– z 2
) = –i(z 1
– z 2
)
fi (z 3
– z 2
) 2 = –(z 1
– 2) 2
fi
fi
2 2 2 2
3 + 2 - 2 2 3= -( 1 + 2 -2 1 2)
2 2 2
1+ 2- 2 1 2= 2 1 3+ 2 2 3-2 1 2-2
3
z z z z z z z z
z z zz zz z z zz z
fi (z 1
– z 2
) 2 = 2(z 1
– z 3
)(z 3
– z 2
)
which is the required condition.
10. Condition of Circumcentre w.r.t. an Equilateral
Triangle
Az ( 1)
Bz ( ) 3
Oz ( 0)
Cz ( 2)