universidad nacional de c´ordoba - Facultad de Ciencias Exactas ...

El Jacobiano de la transformación resulta:
⎡
⎢
J = ⎣
∂ζ
∂β
∂ϑ
∂β
∂ζ
∂ρ
∂ϑ
∂ρ
⎤
⎥
⎦
−1
⎡
⎢
= ⎣
π
2 −β 1
2
0
− ρ π
2 −β 1
2 tan(β)
b
4 sin(β)
⎤
⎥
⎦
(A.3)
Introduciendo la transformación, la integral (A.1) resulta:
I2 =
...
donde:
∫ 1 ∫ 1
−1
−1
G mn (˜x (s p ) , X (R (ζ, ϑ) , S (ϑ)))
b 2
ϑ + 1
( π )
2
sin
−β 1
2
ζ + π 2 +β 2
1 32
2
s p +
( π
2 − β 1)
dζ dϑ
4 tanπ 2
−β 1
ζ+ π 2 +β 1
2 2
b
(1 + ϑ) − Sj−1
S j − S j−1
...
(A.4)
R (ζ, ϑ) = b (1 + ϑ)
4 (A.5a)
b
S (ϑ) = s p + ( π )
2
4 tan
−β 1
2
ζ + π 2 +β (1 + ϑ) (A.5b)
1
2
A.2 Integral I3
Mediante la introducción del sistema de coordenadas polares de la Figura 4.11, I3 resulta:
I3 =
∫ β2
π
2
∫
0
b
2 sin(β)
G mn (˜x (s p ) , X (R (ρ, β) , S (ρ, β))) S − S j−1
S j − S j−1
ρ dρ dβ
(A.6)
donde:
(
)
β 2 = tan −1 b
+ π (A.7)
2 (S j−1 − s p )
Se introduce la siguiente transformación para eliminar la existencia del límite variable en
(A.6) a fines de evaluar esta expresión mediante cuadratura de Gauss:
β = β 2 − π 2
2
ρ =
ζ +
π
2 + β 2
2
(A.8a)
b
( )
β2 −
4 sin π 2
2
ζ + π 2 +β (1 + ϑ) (A.8b)
2
2
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