universidad nacional de c´ordoba - Facultad de Ciencias Exactas ...

El Jacobiano de la transformación resulta:
⎡ ⎤
⎢
J = ⎣
∂ζ
∂β
∂ϑ
∂β
∂ζ
∂ρ
∂ϑ
∂ρ
⎥
⎦
−1
⎡
⎢
= ⎣
β 2 − π 2
2
0
− ρ β 2 − π 2
2 tan(β)
b
4 sin(β)
⎤
⎥
⎦
(A.9)
Introduciendo la transformación, la integral (A.1) resulta:
I3 =
...
donde:
∫ 1 ∫ 1
−1
−1
G mn (˜x (s p ) , X (R (ζ, ϑ) , S (ϑ)))
b 2
ϑ + 1
( )
β2 −
sin π 2
2
ζ + π 2 +β 2
2 32
2
s p +
(
β 2 − π )
dζ dϑ
2
4 2 −
tanβ π 2 ζ+ π 2 +β 2
2 2
b
(1 + ϑ) − Sj−1
S j − S j−1
...
(A.10)
R (ζ, ϑ) = b (1 + ϑ)
4 (A.11a)
S (ϑ) = s p +
b
( )
β2 −
4 tan π 2
2
ζ + π 2 +β (1 + ϑ) (A.11b)
2
2
A.3 Integral I4
Introduciendo las coordenadas polares, I4 resulta:
I4 =
∫ π ∫ S j−1 −s p
cos(β)
β 2 0
G mn (˜x (s p ) , X (R (ρ, β) , S (ρ, β))) S − S j−1
S j − S j−1
ρ dρ dβ
(A.12)
Similarmente a los casos anteriores, se introduce la siguiente transformación para eliminar
la existencia del límite variable en (A.12) a fines de evaluar esta expresión mediante
cuadratura de Gauss::
β = π − β 2
2
ρ =
ζ + π + β 2
2
El Jacobiano de la transformación resulta:
⎡ ⎤ ⎡
⎢
J = ⎣
(A.13a)
ϑ + 1
( ) (S j−1 − s p ) (A.13b)
2 cos π−β2
2
ζ + π+β 2
2
∂ζ
∂β
∂ϑ
∂β
∂ζ
∂ρ
∂ϑ
∂ρ
⎥
⎦
−1
⎢
= ⎣
165
π−β 2
2
0
π−β 2
2 ρ tan(β)
2
S j−1 −s p
2 cos(β)
⎤
⎥
⎦
(A.14)