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forma cerrada. Sin embargo, es posible obtener un tensor de Green aproximado, G A , combinando adecuadamente ciertas componentes de los tensores del semiespacio pavimentado, G P , y confinado, G C , de la siguiente manera: ⎡ ⎤ G C xx (x, X) G P xy (x, X) G P xz (x, X) G A = ⎢ G P yx (x, X) G C yy (x, X) G P yz (x, X) ⎥ ⎣ ⎦ G P xz (x, X) G P zy (x, X) G P zz (x, X) (2.13) Esta definición para el tensor de Green aproximado es tal que verifica la propiedad de reciprocidad de los sistemas elásticos, (2.3). Los valores del tensor de Green aproximado son muy cercanos a los correspondientes a su contraparte exacta para el caso en que el continuo tiene una relación de Poisson, ν = 0,5. Las Figuras 2.3 a 2.14 muestran las componentes del tensor de Green de Kausel, Mamoon, y el aproximado para una relación de Poisson, ν = 0,5 1 . Puede verse que el tensor propuesto por Mamoon coincide con el de Kausel (exacto) para frecuencias bajas (a 0 < 0,2), mientras que la versión aproximada, G A , arroja valores ligeramente inferiores. Sin embargo, cabe notar que en el rango de frecuencias considerado, G A resulta ser una mejor aproximación al tensor exacto que el propuesto por Mamoon. Puede concluirse entonces que, a fines de evaluar el tensor de Green de un semiespacio homogéneo con ν = 0,5, puede utilizarse el tensor de Green aproximado, con una pequeña pérdida de exactitud, la cual es altamente compensada por el ahorro computacional resultante. Esto es así ya que las funciones de Green involucradas en el tensor de Green aproximado son expresiones analíticas cuya evaluación puede realizarse en forma cerrada. Desde un punto de vista práctico esta solución es de interés, ya que en muchas aplicaciones de la ingeniería el medio continuo es un suelo saturado. El comportamiento 1 La solución de Kausel no permite la evaluación del tensor de Green para el caso en que ν = 0,5, ya que para ese valor algunos coeficientes de las matrices utilizadas para la solución del problema de autovalores resultan infinitos. De esta manera, para la evaluación de los ejemplos considerados mediante la solución de Kausel, se utiliza una relación de Poisson, ν = 0,45. 46
dinámico de los suelos saturados es no-drenado, ya que la variación temporal de la carga tiene usualmente una escala temporal varios órdenes inferior a la escala temporal del problema de difusión de presiones de poros (o consolidación) en el suelo. Dado que el fluido saturante posee un módulo elástico volumétrico, K w , mucho mayor al correspondiente al esqueleto material del suelo, mientras que el módulo de corte del fluido, µ w = 0, el comportamiento del suelo a bajas deformaciones puede modelarse con un material elástico cuyo módulo de corte es igual al del suelo y una relación de Poisson, ν = 0,5. Por otra parte, es frecuente encontrar perfiles de suelos en donde los estratos superficiales tienen una relación de sobreconsolidación, OCR, muy grande, mientras que este valor se va reduciendo con la profundidad. Estos casos se dan en suelos cuyo mecanismo de preconsolidación es predominantemente mecánico o por disecación. Para estos casos, el módulo de corte generalmente se mantiene relativamente constante en zonas cercanas a la superficie. 2.4 Singularidad del tensor de Green Como se menciona en párrafos anteriores, el problema de una carga puntual actuando en un medio elástico es un problema singular en el sentido de que las tensiones y los desplazamientos son indefinidos (o infinitos) en el punto de aplicación de la carga. Esto es de particular importancia, ya que los métodos de elementos de contorno generalmente requieren evaluar numéricamente integrales en la zona de aplicación de una carga. Para el caso estático, en la cercanía de la aplicación de la carga, la solución de Mindlin (carga en un semiespacio) tiende a la solución de Kelvin para el espacio infinito. Cabe destacar que dado que el problema de Kelvin carece de escalas, el término proximidad no tiene sentido en el mismo. Para el caso dinámico es interesante destacar que las soluciones pueden ser expresadas en función de la frecuencia adimensional, a 0 = ωr/V s , por lo que el comportamiento de las 47
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[20] C. C. Mei. “Mathematical Ana
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