universidad nacional de c´ordoba - Facultad de Ciencias Exactas ...

R
Ω III
β 2
ρ
b/2
Ω IV β
β
Ω I
1
S, s
S j-1 s p
S j
Ω II
Ω j-1
Figura 4.11: Esquema de integración singular
Cabe destacar que la función I (s) no posee singularidades, ya que representa los desplazamientos
debidos a una carga distribuida. Por lo tanto, la integración en (4.26) no
contiene singularidades en su dominio y puede evaluarse mediante cuadratura de Gauss
de la siguiente manera:
donde:
I1 mn
ij
= s i − s i−1
2
∑
p
1 + η p
I (s p ) w p (4.28)
2
s p = s i + s i−1
2
+ s i − s i−1
η p (4.29)
2
donde p es el índice que identifica los puntos de Gauss, η p son las coordenadas canónicas
de los puntos de Gauss (−1 ≤ η ≤ 1) y w p son los pesos de los puntos de Gauss (por
ejemplo, [3]). La evaluación de I (s p ), por otra parte, requiere integración singular, ya que
˜x (s p ) se encuentra sobre el dominio de integración, Ω j−1 . El valor de I (s p ) representa el
desplazamiento del punto ˜x (s p ) debido a la carga distribuida aplicada en Ω j−1 . A fines de
eliminar la singularidad en la evaluación de I (s p ), se define un sistema de coordenadas
polares (Figura 4.11) con origen en ˜x (s p ) y cuyas variables radiales, ρ, y angulares, β, son
definidas sobre el dominio de integración rectangular Ω j−1 . Dada la simetría del problema,
la evaluación de I (s) puede plantearse de la siguiente manera:
∫
I (s) = [..] dΩ = 2
Ω j−1
{∫
∫
∫
∫
Ω I Ω II Ω III
[..] dΩ + [..] dΩ + [..] dΩ +
96
Ω IV
}
[..] dΩ
(4.30)