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a su vez pueden ser funciones de la frecuencia. Para los problemas considerados en este trabajo, es práctica habitual considerar que la disipación en el medio continuo se produce mediante un mecanismo de amortiguamiento que puede ser modelado como histerético, por lo que las relaciones de amortiguamiento usadas en este trabajo no son funciones de la frecuencia. Es importante remarcar que la convención de signos establecida en (2.6a) y (2.6b) está íntimamente relacionada a la establecida para el exponente i ω t en (2.1), ya que solamente de esta manera la solución (2.4a) decae para r → ∞. 2.3.1 Semiespacio homogéneo con superficie libre Este problema fue estudiado por primera vez por Lamb en 1904 ([14]), quien obtuvo la solución al problema de una carga armónica aplicada en la superficie de un semiespacio elástico–frecuentemente llamado “problema dinámico de Bousinessq”. Basado en la reciprocidad dinámica de los sistemas elásticos, Lamb determinó los desplazamientos superficiales producidos por una carga aplicada en el interior del semiespacio (por ejemplo, [30]). La solución de Lamb, sin embargo, no permite evaluar los desplazamientos en el interior del semiespacio debidos a cargas interiores. Desde el trabajo pionero de Lamb, un gran número de investigadores han encontrado soluciones analítico-numéricas al problema de una carga armónica en el interior de un semiespacio. Cabe destacar, entre otros, el trabajo de Kobayashi y Nishimura (por ejemplo, [32]), quienes obtienen la solución en forma de un tensor de Green del espacio completo (esto es, la solución de Stokes) más un término que requiere evaluar numéricamente una integral impropia. Estos autores proponen expresiones asintóticas a fines de evaluar las integrales impropias como la diferencia entre la correspondiente a la expresión asintótica (la cual puede ser evaluada analíticamente) y una función residual que tiene un fuerte decaimiento, ya que la expresión asintótica tiende a la expresión exacta rápidamente. 40
Más recientemente, Mamoon ([16], [2]), basándose en los conceptos de Mindlin, propone una extensión del método de superposición antes mencionado para el caso dinámico. De esa manera, obtiene las contrapartes dinámicas de los núcleos de deformación utilizados por Mindlin para el caso estático, mediante diferenciación de la solución fundamental de Stokes. A fines de obtener una solución para el semiespacio, Mamoon utiliza los mismos coeficientes utilizados por Mindlin para realizar la superposición de los núcleos de deformación. La solución así obtenida tiene la característica de que tiende a la solución de Mindlin para frecuencias bajas. Sin embargo, el autor ha verificado que esta solución no es rigurosa, dado que los coeficientes de superposición propuestos por Mindlin son estrictamente válidos para el caso estático, y no garantizan el cumplimiento de las condiciones de borde en la superficie del semiespacio para frecuencias distintas de cero. A modo de ilustración, para el caso de un semiespacio con módulo de Poisson, ν = 0,50, la expansión en series en términos de la frecuencia adimensional, a 0 = ωr/V s , de las tensiones de corte en el plano de la superficie del semiespacio de la componente G zz propuesta por Mamoon resulta: [ τ rz | z=0 = 1 − 1 πr 8 r 2 + 2Z 2 (r 2 + Z 2 ) 3 2 a 2 0 + ] i 10r a3 0 + O(a 4 0) (2.7) donde r = √(x 2 − X) 2 + (y − Y ) 2 es la distancia radial sobre un plano horizontal entre el punto de aplicación la carga y el punto en donde se evalúan los desplazamientos y Z es la coordenada vertical del punto de aplicación de la carga. La ecuación 2.7 muestra que la condición de borde τ rz | z=0 = 0 no se cumple para frecuencias a 0 ≠ 0. Es decir que, aunque no explícitamente indicado en el trabajo de Mamoon, esta solución es estrictamente una aproximación para bajas frecuencias. Cabe notar que el tensor de Green propuesto por Mamoon está dado por expresiones analíticas cerradas y términos que requieren integración numérica de funciones altamente oscilatorias. Sin embargo, para el caso en que el continuo tiene una relación de Poisson, ν = 0,5, la solución está dada enteramente por expresiones analíticas; es decir, los términos 41
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X (e) (R, S) = X j + X j+1 − X j
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Capítulo 5 Ejemplos de aplicación
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Mediante estas hipótesis, la rigid
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negativa para el caso de carga vert
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Capítulo 6 Conclusiones y recomend
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de mapeo. La introducción de dicha
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6.3 Recomendaciones para futuras in
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Apéndice A Evaluación de las inte
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El Jacobiano de la transformación
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Bibliografía [1] P. K. Banerjee.
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[20] C. C. Mei. “Mathematical Ana
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