ANÁLISIS DE RIESGO

ANÁLISIS DE RIESGO
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Análisis de riesgo
El capítulo anterior logró tres objetivos. Primero, le hemos puesto a usted al corriente sobre la
historia de los mercados de capitales estadounidenses. Segundo, presentamos estadísticas tales
como la rentabilidad esperada, la varianza, la desviación estándar y la beta. Tercero, presentamos
un modelo simplificado de tasa de descuento de un proyecto arriesgado.
Sin embargo, en el capítulo previo señalamos que la naturaleza del modelo anterior es ad hile. Los
dos capítulos siguientes presentan un planteamiento razonado cuidadosamente para calcular la
tasa de descuento de un proyecto arriesgado. Los capítulos I () Y 11 analizan el riesgo y la
rentabilidad de los títulos individuales cuando estos títulos forman parte de una cartera cuantiosa
En tanto que esta investigación es una etapa necesaria para el descuento de proyectos, los
proyectos corporativos no se consideran aquí. En su lugar, se reserva para el capítulo 12, un
análisis de la tasa de descuento adecuada para el presupuesto de capital.
Se puede resumir la esencia de este capítulo como sigue: Un individuo que tiene un título debe
usar la rentabilidad esperada como la medida de la rentabilidad del título. La desviación estándar o
la varianza es la medida apropiada del nesgo del título. A una persona que tiene una cartera
diversificada le interesa la contribución de cada título a la rentabilidad esperada y al riesgo de la
cartera. Sucede que la rentabilidad esperada de un título es la medida adecuada de la contribución
del título a la rentabilidad esperada sobre la cartera Sin embargo, ni la varianza ni la desviación
estándar son medidas adecuadas de la contribución de Un título al riesgo de una cartera. La
contribución de un título al riesgo de la cartera se mide mejor mediante la beta una expectativa,
está claro que la rentabilidad real puede ser mayor o menor. La expectativa de un individuo puede
ser simplemente la rentabilidad promedio por periodo que ha ganado en periodos anteriores.
Alternativamente, la rentabilidad esperada se puede basar en un análisis detallado de las
expectativas de una empresa, en algún modelo computadorizado, o en información especial (o
interna).
2. Varianza y desviación estándar. Existen muchas maneras de valorar la volatilidad de la
rentabilidad de un título; una de las más comunes es la varianza, que es una medida del cuadrado
de las desviaciones de la rentabilidad de un título de su rentabilidad esperada. La desviación
estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza, se puede considerar como una versión
estandarizada de la varianza.
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3. Covarianza y correlación. Las rentabilidades de los títulos individuales se relacionan entre sí. La
covarianza es una medida estadística de la interacción de dos títulos. De modo alternativo, se
puede expresar esta interacción en términos de la correlación entre dos títulos. La covarianza y la
correlación son pilares del entendimiento del coeficiente beta.
Rentabilidad esperada, varianza y covarianza
Rentabilidad esperada y varianza
Suponga que los analistas financieros piensan que existen cuatro estados económicos igualmente
posibles: depresión, recesión, normalidad y prosperidad. Se espera que las rentabilidades de la
Supertech Company sigan de cerca el curso de la economía, en tanto que se espera que las
rentabilidades de la Slowpoke Company no lo hagan así. En seguida, se presentan las
proyecciones de las rentabilidades:
Rentabilidades de Supertech Rentabilidades de Slowpoke
RA1
Depresión -20% 5%
Recesión 10 20-
Normalidad 30 12
Prosperidad 50 9
R&
Se puede calcular la varianza en cuatro pasos. El primer paso es el cálculo de la rentabilidad
esperada. Se requiere un paso adicional para calcular la desviación estándar. (La tabla lO.!
presenta los cálculos.)
l. Calculamos la rentabilidad esperada:
Supertech:
- 0.20 + 0.10 + OJO + 0.50 =0.175 =17.5%
[L~~I~lO.l~álc~IO de la varianza y lad~s~i~~iÓn-~stá~d;t--~------(1)
'-R - -020 + 0.10+ OJO + O.5e = 0.175 = 175%
A - 4
Var(RA) = (f~ = 0¡675 = 0066M75
SD(RA) = (fA = VO:-()(,(,S75 = 0.2\86 = 25.86%
tR = 0.05.;. 020 - 0.12 + 009 = 00\\ = 5 ~o/t
8 4 . .. .. e
3

Var(R ) = 2= 00529= O (lIP'\
8 (fa 4 .. ••.
SD(RB)= (f8 =V[OI3m 1150% = 0.1150 =
Slowpoke:
0.05+ 0.12 - 0.20+ 0.09= 0.055= 5.5%4
2. Calculamos, para cada compañía, la desviación de cada rentabilidad posible de la rentabilidad
esperada de la compañía que se ha proporcionado. La tercera columna de la tabla 10.1
presenta este cálculo.
3. Las desviaciones que hemos calculado son señales de la dispersión de
las rentabilidades. No obstante, es difícil trabajar con las desviaciones de esta forma porque
algunas son positivas y otras son negativas. Por ejemplo, si sólo debiéramos sumar todas las
desviaciones de una compañía en particular, obtendríamos cero como resultado.
Para hacer que las desviaciones sean más significativas, multiplicamos cada una por sí misma.
Ahora todas las cifras son positivas, implicando que su adición también debe ser positiva La
última columna de la tabla 1(1 1 presenta Lis desviaciones elevadas al cuadrado.
4. Calculamos, para cada compañía, la desviación cuadrada promedio, que es la varianza: 1
4

Supertech:
Slowpoke:
0.140625+ 0.005625+ 0.015625+ 0.066875 = 0.105625
4
0.000025+ 0.021025+ 0.030625+ 0.001225= 4 0.013225
Por lo tanto, la varianza de Supertech es de 0.066875, y la varianza de Slowpoke es de
0.013225.
5. Calculamos la desviación estándar sacando la raíz cuadrada de la vananza:
Supertech:
JO.066875 =- 0.2586 = 25.86%
Slowpoke:
.J 11.50% = 0.1150 = 0.013225
La fórmula de la varianza se puede expresar algebraicamente como Var( R) = Valor
esperado de (R - Ji)2
DondeR es la rentabilidad esperada del título y R es la rentabilidad real.
Un análisis del cálculo de cuatro pasos de la varianza hace evidente por qué ésta es una medida
de la dispersión del modelo de rentabilidades. Para cada observación, se eleva al cuadrado la
diferencia entre la rentabilidad real y la rentabilidad esperada. Se saca un promedio de estas
diferencias al cuadrado; elevando al cuadrado estas diferencias todas son positivas. Si usáramos
las diferencias entre cada rentabilidad y la rentabilidad esperada, y luego promediáramos estas
diferencias, obtendríamos un resultado de cero porque las rentabilidades que fueran mayores que
el promedio anularían las que se encontraran por debajo del mismo.
Sin embargo, dado que la varianza se expresa aún en términos cuadráticos, es difícil interpretarla.
Es mucho más sencillo interpretar la desviación estándar, lo cual haremos dentro de poco. La
desviación estándar simplemente es la raíz cuadrada de la varianza. La fórmula general de la
desviación estándar es
SD(R) = ~Var(R)
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Covarianza y correlación
Los estadísticos creen que la varianza y la desviación estándar miden la variabilidad de las
acciones individuales. Ahora queremos ponderar la relación entre la rentabilidad de dos acciones.
Para hacer que nuestro análisis sea más preciso, necesitamos una medida estadística de la
relación entre dos variables. Entre la covarianza y la correlación.
La covarianza y la correlación son maneras de medir si dos variables al azar se relacionan, y cómo
se relacionan. Explicamos estos términos ampliando un ejemplo que presentamos anteriormente
en este capítulo.
Ejemplo
En este capítulo ya hemos determinado las rentabilidades esperadas y las desviaciones estándar
de Supertech y Slowpoke. (Las rentabilidades esperadas de Supertech y Slowpoke son de 0.175 y
0.055, respectivamente, y las desviaciones estándar son de 0.2586 y 0.1150, respectivamente.)
Además, calculamos, para cada empresa, la desviación de cada rentabilidad posible de la
rentabilidad esperada. Usando estos datos, se puede calcular en dos pasos la covarianza. Es
necesario un paso adicional para calcular la correlación.
1. Para cada estado de la economía, multiplicamos la desviación de
. Supertech de su rentabilidad esperada por la desviación de Slowpoke de su rentabilidad
esperada. Por ejemplo, la tasa de rentabilidad de Supertech en depresión es de -0.20, que
es -0.375 (-0.20 - 0.175) de su rentabilidad esperada. La tasa de rentabilidad de Slowpoke
en depresión es de 0.05, que es de -0.005 (0.05 - 0.055) de su rentabilidad esperada.
Multiplicando estas dos desviaciones tenemos 0.001875 [(-0.375) x (-0.005)]. La última
columna de la tabla 10.2 presenta los cálculos reales. Este procedimiento puede
expresarse algebraicamente como
(RA1 - RB) x (R Bt - RB)
donde RA1 Y RBt son las rentabilidades de Supertech y Slowpoke en el estado t. RA y
RB son las rentabilidades de los dos títulos.
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2. En la última columna calculamos el valor promedio de los cuatro estados. Este
promedio es la covarianza. Esto es:
(jAB = Cov(RA, RB) = --- = -0.004875 • 4
3.
Nótese que representamos la covarianza entre Supertech y Slowpoke ya sea cOmOCov(RA, RB) o
(jAB' La ecuación (10.1) ilustra la intuición de la covarianza.
(RA1 - RA) X (RBt - RB) (10.1)
Suponga que la rentabilidad de Supertech por lo general es mayor que su promedio cuando la
rentabilidad de Slowpoke es mayor que su promedio, y que la rentabilidad de Supertech por lo
general es menor que su promedio cuando la rentabilidad de Slowpoke es menor que su
promedio. Esto indica una dependencia o relación positiva entre las dos rentabilidades. Nótese
que el término de la ecuación (10.1) será positivo en cualquier estado en que ambas
rentabilidades sean mayores que sus promedios. Además, la ecuación (l 0.1) aún será positiva en
cualquier estado en el que ambos términos sean menores que sus promedios. Así, una relación
positiva entre las dos rentabilidades dará lugar a un cálculo positivo de la covarianza. .
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Por el contrario, suponga que la rentabilidad de Supertech generalmente es mayor que su
promedio cuando la rentabilidad de Slowpoke es menor que su promedio y que la rentabiiidad de
Supertech por lo general es menor que su promedio cuando la rentabilidad Slowpoke es mayor
que su promedio. Esto indica una dependencia o relación negativa entre las dos rentabilidades.
Nótese que el término de la ecuación (lO.!) será negativo en cualquier estado en que una
rentabilidad sea mayor que su promedio y la otra sea menor que su promedio. De este modo, una
relación negativa entre las dos rentabilidades dará lugar a un cálculo negativo de la covarianza.
Finalmente, suponga que no existe ninguna relación entre las dos rentabilidades. En este caso,
saber si la rentabilidad de Supertech es mayor o menor que su rentabilidad esperada no nos
indica nada sobre la rentabilidad de Slowpok e . Entonces, en la fórmula de la covarianza los
términos no presentarán ninguna tendencia a ser positivos o negativos y, en el promedio, tenderán
a compensarse y anularse. Esto dará una covarianza de cero.
Es evidente que aun si las dos rentabilidades no se relacionan entre sí, la fórmula de la covarianza
no equivaldrá exactamente a cero en ningún caso real. Esto es consecuencia del error del
muestreo; el azar por sí mismo hará que el cálculo sea positivo o negativo. Pero en el caso de una
muestra histórica que tiene la amplitud suficiente, si las dos rentabilidades no se relacionan entre
sí, debemos esperar que el resultado de la fórmula se aproxime a cero.
La fórmula de la covarianza parece capturar lo que estamos buscando. Si las dos rentabilidades se
relacionan positivamente entre sí, tendrán una covarianza positiva, pero si la relación que existe
entre éstas es negativa, la covarianza será negativa. Para concluir, cabe señalar que si las
rentabilidades no se relacionan entre sí, la covarianza debe ser igual a cero.
Podemos expresar algebraicarnente la fórmula de la covarianza como
a AO = Cov(R." Ro) = Valor esperado de [(RA - RA) X (Ro - Ro)J
donde RA Y RB son las rentabilidades esperadas de los dos títulos, y RA Y RB son las rentabilidades
reales. El orden de las dos variables es indistinto. Es decir, la covarianza de A con B es igual a la
covarianza de B con A. Esto se puede expresar de modo más formal como Cov(RA, RB) = Cov(RB,
RA) o a AB =a AB'
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La covarianza que calculamos es de -0.004875. Una cifra negativa como ésta implica que es
probable que la rentabilidad de una acción sea mayor que su promedio cuando la rentabilidad de la
otra acción es menor que su promedio y viceversa. Sin embargo, es difícil interpretar la magnitud
del número. Como la cifra de la varianza, la covarianza se expresa en unidades cuadráticas de
desviación. Hasta no tener esta cifra en perspectiva, no sabremos qué hacer con ella.
Resolvemos el problema calculando la correlación:
3. Para calcular la correlación, dividimos la covarianza entre las desviaciones estándar de
ambos títulos. Por ejemplo, tenemos:
COV(R1,RB) 0.004875- 01639
PAB= orr(RA,RH)= aA~aH =0.2586xO.li50=-· (10.2)
donde aA Y aB son las desviaciones estándar de Supertech y Slowpoke, respectivamente. Nótese
que representamos la correlación entre Supertech y Slowpoke ya sea como Corr(RA, RB) o PAH' Al
igual que con la covarianza, el orden de las variables carece de importancia. Es decir, la
correlación de A con B es igual a la correlación de B con A. Expresándolo de manera más formal,
tenemos: Corr(R.ft Re) =: Corr(RH, R¡) O PA¡¡ •.• PAH'
Dado que la desviación estándar siempre es positiva, el signo de la correlación entre las dos
variables siempre debe ser el mismo que el de la covarianza entre las dos variables. Si la
correlación es positiva, decirnos que las variables ve correlacionan positivamente; si la correlación
es negativa, decimos que se correlacionan negativamente y si la correlación es igual a cero,
decirnos qUC!i1) se Correlacionan. Además, podernos probar que la correlación siempre serú de
entre +1 y -I. Esto es consecuencia del proceso de estandarización por el que dividí mas entre las
dos dcs\iac!l)fll"; estándar.
Podemos comparar la correlación entre los diversos pares de títulos. Por ejemplo, resulta que la
correlación entre General Motors y Ford es más alta que la correlación entre General Motors e
IBM. Por lo tanto, podemos decir que el primer par de títulos interactúa más que el segundo.
La figura 10.1 presenta los tres puntos de referencia para dos activos, A y B.
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La figura presenta los activos con correlaciones de rentabilidad de + 1,-1 Y 0, Esto implica una
correlación positiva perfecta, correlación negativa perfecta y una falta de correlación,
respectivamente. Las gráficas de la figura ilustran las rentabilidades de los dos títulos por separado
a través del tiempo.
La rentabilidad y el riesgo de las carteras
Suponga que un inversionista tiene estimaciones de las rentabilidades esperadas y las
desviaciones estándar de los títulos individuales y las correlaciones entre los títulos. ¿Cómo
selecciona, entonces, el inversionista la mejor combinación o cartera de títulos') Es obvio que el
inversionista querría tener una cartera con una rentabilidad esperada alta y una desviación
estándar baja de la rentabilidad. Por lo tanto, es importante considerar:
Figura 10,1 Ejemplos de diversos coeficientes de correlación. Las gráficas de la figura
ilustran las rentabilidades de los des títulos por separado a través del tiempo.
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1. La relación entre la rentabilidad esperada de los títulos individuales y la rentabilidad
esperada de una cartera constituida por estos títulos.
1. La relación entre las desviaciones estándar de los títulos individuales, las correlaciones
entre estos títulos y la desviación estándar de una cartera que consta de dichos títulos.
El ejemplo de Supertech y Slowpoke
Para analizar las dos relaciones anteriores, usaremos el mismo ejemplo de Supertech y Slowpoke
que ya hemos presentado. Los datos correspondientes son los siguientes"
La rentabilidad esperada de una cartera
La fórmula ele la rentabilidad esperada de una cartera es muy sencilla:
La rentabilidad esperada de una cartera es simplemente un promedio ponderado
de las rentabilidades esperadas de los títulos individuales
Ejemplo
Considere la~ C()ll1p~llll~IS Supertech y Slo\\poke. A partir del recuadro anterior, encontramos
que las rentabilidades esperadas de estos dos títulos son del 17.5 y )) por ciento respectivamente
Se puede L·\¡'tCs~lt Lt rentabilidad esperada de una cartera formada sólo por esto, io: I
o' l ()~ utu lh ll)Jl1() donde Xsuper es el porcentaje de la cartera en Supertech y XS10w es el
porcentaje de la cartera en Slowpoke. Si una persona que tiene 100 dólares invierte 60 dólares
en Supertech y 40 dólares en Slowpoke, la rentabilidad esperada se puede expresar como
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Rentabilidad esperada de la cartera = 0.6 x 17.5% + 0.4 x 5.5% = 12.7% Algebraicamente, lo
podemos expresar como
Rentabilidad esperada de la cartera = x)iA + XBRB
donde XA y XB son los porcentajes de la cartera total en los activos A y B, respectivamente. (Ya
que la persona en cuestión sólo puede invertir en dos títulos, XA + XB debe ser igual él 1 o 100 por
ciento.) RA Y RE son las rentabilidades esperadas de los dos títulos.
Ahora considere dos acciones, cada una con una rentabilidad esperada del 10 por ciento. La
rentabilidad esperada de una cartera que consta de estas dos acciones debe ser del 10 por ciento,
sin que sean importantes las proporciones de las dos acciones. Hasta ahora, este resultado puede
parecer obvio, pero más tarde cobrará importancia. El resultado implica que no se reduce o disipa
la rentabilidad esperada invirtiendo en una cantidad determinada de títulos. Más bien, la
rentabilidad esperada de la cartera es sencillamente un promedio ponderado de las rentabilidades
esperadas de los activos individuales de una cartera.
Varianza y desviación estándar de una cartera
La varianza
La fórmula de la varianza de una cartera que se compone de dos títulos, A y B es La varianza
de la cartera:
Var(cartera) = X~a~ + 2XAXBa A,B + X;a~
Nótese que existen tres términos en el lado derecho de la ecuación. El primer término representa
la varianza de A (a~), el segundo término simboliza la covarianza entre los dos títulos (aAS) Y el
tercer término representa la varianza de B ( a~ ). (Cabe hacer notar que aA,B = aB,A' Es decir, el
orden de las variables no tiene importancia al expresar la covarianza entre los dos títulos.)
La fórmula señala un punto importante. La varianza de una cartera depende tanto de las varianzas
de los títulos individuales como de la covarianza entre los dos títulos. La varianza de un título mide
la variabilidad de la rentabilidad de un título individual. La covarianza mide la relación entre dos
títulos. Para determinadas varianzas de los títulos individuales, una relación o covarianza positiva
entre los dos títulos incrementa la varianza de la cartera completa. Una relación o covarianza
negativa entre los dos títulos reduce la varianza de toda la cartera. Este importante resultado
parece concordar con el sentido común. Si uno de los títulos que usted tiene tiende a subir cuando
otro baja, o viceversa, sus dos títulos se están compensando entre sí. Está usted logrando lo que
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en finanzas Ilamamos cobertura, y e I riesgo de su cartera será bajo. No obstante, si ambos títulos
están subiendo Y bajando juntos, no está compensando en absoluto, por lo que, el riesgo de su
cartera será más alto.
La fórmula de la varianza de dos títulos, Super y Slow, es
Considerando nuestro supuesto anterior de que una persona invierte 60 dólares en Supertech y 40
dólares en Slowpoke,Xsuper = 0.6 Y XS1"W = 0.4. Usando este supuesto y los datos pertinentes
del recuadro que hemos presentado, la varianza
de la cartera es
0.023851 = 0.36 x 0.066875 + 2 x [0.6 x 0.4 x (-
0.004875)] + 0.16x 0.013225
El planteamiento de la matriz
Alternativamente, podemos expresar la ecuación (10.4) en el formato de matriz siguiente:
Hay cuatro casilleros en la matriz. Podemos sumar los términos de los casilleros para obtener la
ecuación (10.4), la varianza de una cartera compuesta de dos títulos. El término de la esquina
superior izquierda representa la varianza de Super-tech; el término de la esquina inferior derecha
simboliza la varianza de Slowpoke. Los otros dos casilleros contienen los términos que
comprenden la covarianza. Es-tos dos casilleros son idénticos, indicando por qué el término de la
covarianza se multiplica por dos en la ecuación (10.4).
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En este punto, el estudiante con frecuencia encuentra más complicado el planteamiento del
casillero que la ecuación (10.4). Sin embargo, se puede generalizar el planteamiento del casillero
para más de dos títulos, una tarea que realizaremos posteriormente en este capítulo.
Desviación estándar de una cartera
Considerando la ecuación (10.4'), podemos ahora determinar la desviación estándar de la
rentabilidad de una cartera. Esto es
ap = SD (cartera) = JVar (cartera) = JO.023851 (10.5)
15.44% = 0.1544 =
La interpretación de la desviación estándar de una cartera es la misma que la Interpretación de la
desviación estándar de un título individual. La rentabilidad esperada de nuestra cartera es de 12.7
por ciento. Una rentabilidad de -2.74 por ciento (12.7% - 15.44%) es una desviación estándar
menor que el promedio, y una rentabilidad de 28.14 por ciento (12.7% + 15.44%) es una
desviación estándar por encima del promedio. Si la rentabilidad de una cartera está distribuida
normalmente, una rentabilidad de entre -2.74 Y + 28.14 por ciento ocurre aproximadamente en un
68 por ciento de las veces.
El efecto de la diversificación
Es instructivo comparar la desviación estándar de la cartera con la desviación estándar de los
títulos individuales. El promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos
individuales es
Promedio ponderado de = X a + X a
las desviaciones estándar Super Super Slow Slow
0.2012= 0.6 X 0.2586 + 0.4 X 0.115
Uno de los resultados más importantes de este capítulo se relaciona con la diferencia entre las
ecuaciones (l 0.5) Y (10.6). En nuestro ejemplo, la desviación estándar de la cartera es menor que
el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos individuales.
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Con anterioridad hemos señalado que la rentabilidad esperada de una cartera es el promedio
ponderado de las rentabilidades de los títulos individuales. Así, el tipo de resultado que obtenemos
para la desviación estándar de una cartera es diferente del resultado que obtenemos para la
rentabilidad esperada de una cartera.
Por lo general, se sostiene que nuestro resultado para la desviación estándar de una cartera se
debe a la diversificación. Por ejemplo, Supertech y Slowpoke presentan cierta correlación negativa
(p = -O. J 639). Es posible que la rentabilidad de Supertech sea ligeramente menor que el
promedio si la rentabilidad de Slowpoke es mayor que el promedio. De modo similar, es probable
que la rentabilidad de Supertech sea ligeramente mayor que el promedio si la rentabilidad d~
Slowpoke es menor que el promedio. Por lo tanto, la desviación estándar de una cartera que
consta de dos títulos es menor que el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los
dos títulos.
El ejemplo anterior tiene una correlación negativa. Es evidente que habría un beneficio menor de
la diversificación si los dos títulos presentaran una correleción positiva. ¿Cuán alta debe ser la
correlación positiva antes de que se agoten todos los beneficios de la diversificación?,
La fórmula indica que la covarianza entre cualquier par de títulos es simplemente la correlación
entre los dos títulos multiplicada por las desviaciones estándar de cada uno. En otras palabras, la
covarianza incorpora tanto (l) la correlación entre los dos activos como (2) la variabilidad de cada
uno de los títulos en términos de la desviación estándar
A partir de nuestros cálculos anteriores de este capítulo sabemos que la correlación entre los
dos títulos es de -0.1639. Considerando las varianzas que usamos en la ecuación (10.4'), las
desviaciones estándar son de 0.2586 y 0.115 para Supertech y Slowpoke, respectivamente. Por
lo tanto, la varianza de una cartera puede expresarse como
Varianza de la rentabilidad de una cartera
2 2 2 2
= Xsurer o Super + 2XsuperXSlowPSuper.Slow o Super o Slow + XS!ow u 5101'
0.023851 = 0.36 X 0.066875 + 2 X 0.6 X 0.4 X (-0.1639) X
0.2586X 0.115+ 0.16X 0.013225
El término que se encuentra en la parte central del lado derecho se expresa ahora en términos de
correlación, P, no de covarianza.
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Suponga que PSurerSll1w = 1, el valor máximo posible de la correlación, y que todos los otros
parámetros del ejemplo son los mismos. La varianza de la
cartera es
Varianza de la rentabilidad = 0.040466 = 0.36 X 0.066875+ 2X de una
cartera
(0.6 X 0.4 X 1 X 0.2586 x 0.115) + 0.16 x 0.013225
La desviación estándar es
Desviación estándar de la = .JO.040466= 0.2012= 20.12%
rentabilidad de la cartera
Nótese que las expresiones (10.9) y (10.6) son iguales. Es decir, la desviación estándar de la
rentabilidad de una cartera es igual que el promedio ponderado de Ias desviaciones estándar de
las rentabilidades individuales cuando p = l. El análisis de la ecuación (10.8) indica que la
varianza y, por lo tanto, la desviación estándar de la cartera deben caer cuando la correlación es
menor que 1. Esto lleva a:
En otras palabras, el efecto de la diversificación se aplica en tanto que haya menos que
correlación perfecta (mientras que P < 1). Así, nuestro ejemplo de d~pertech y Slowpoke es un
caso exagerado. Ilustramos la diversificación mediante un ejemplo con correlación negativa.
Podríamos haberla ilustrado mediante u.n. ejemplo con correlación positiva (en tanto que no
fuera una correlación positiva perfecta).
Preguntas Conceptuales
• ¿Cuáles son las fórmulas de la rentabilidad esperada, la varianza y la desviación estándar de
una cartera de dos activos?
• ¿Cuál es el efecto de la diversificación?
• ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos posibles del coeficiente de correlación?
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El conjunto eficiente para dos activos
La figura 10.2 presenta las gráficas de nuestros resultados de las rentabilidades esperadas y las
desviaciones estándar. En la figura hay un punto denominado Slowpoke y otro llamado Supertech.
Cada punto representa la rentabilidad esperada así como la desviación estándar de un título
individual. Como se puede apreciar, Supertech tiene tanto la rentabilidad esperada como la
desviación estándar más altas.
El cuadrado o "O" de la gráfica representa una cartera con un 60 por ciento invertido en Supertech
y 40 por ciento invertido en Slowpoke. Recordará usted que anteriormente hemos calculado la
rentabilidad esperada al igual que la desviación estándar de esta cartera.
La alternativa de invertir 60 por ciento en Supertech y 40 por ciento en Slowpoke es sólo una de la
infinidad de carteras que se pueden crear. La curva de la figura 10.3 ilustra el conjunto de carteras.
Considere la cartera 1. Es una cartera que consiste en 90 por ciento invertido en Slowpoke y 10
por ciento invertido en Supertech. Puesto que se ha dado tanta preferencia a Slowpoke, en la
gráfica, esta cartera aparece cerca del punto de Slowpoke. La cartera 2 se encuentra más arriba
de la curva porque consta de una inversión del 50 por ciento en Slowpoke y de 50 por ciento en
Supertech. En la gráfica, la cartera 3 se halla cerca del punto de Supertech porque se compone de
una inversión de 90 por ciento en Supertech y 10 por ciento en Slowpoke.
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La cartera 1 consta de una inversión del 90 por ciento en Slowpoke y 10 por
ciento en Supertech (p 0= -ü 16J.
La cartera 2 consta de una inversión del so por ciento en Slowpoke y 50 por
ciento en Supertech (p = -O .16 J.
La cartera 3 consta de una inversión del 10 por ciento en Slowpoke y 90 por
ciento en Supertech (p = .( 0.16-
La cartera l' consta de una inversión del90 por ciento en Slowpoke y 10 por
ciento en Supertech (p = .( 1
El punto MV indica la varianza mínima de la cartera. Es la cartera con la
varianza mínima posible. Por definición, la misma cartera también debe tener la
desviación estándar mínima posible.
Existen algunos puntos de importancia en relación con esta gráfica.
1.Decíamos que el efecto de la diversificación ocurre siempre que la correlación entre los dos
títulos es menor que l. La correlación entre Supertech y Slowpoke es de -0.1639. Se puede ilustrar
el efecto de la diversificación mediante la comparación con la línea recta que se halla entre el
punto de Supertech y el de Slowpoke. La línea recta representa los puntos que se habrían
generado SI el coeficiente de la correlación entre los dos títulos hubiera sido de l. En la figura se
ilustra el efecto de la diversificación porque la línea curva siempre se encuentra a la izquierda de
la recta. Considere el punto l` éste representa una cartera que consta de una inversión del 90 por
ciento en Slowpoke y del 10 por ciento en Supertech si la correlación fuera exactamente l´.
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Señalamos que la inversificación no tendría efecto alguno si p = l. Sin embargo, el efecto de la diversificación
se aplica a la curva porque el punto 1 tiene la misma rentabilidad esperada que el
punto J', pero tiene una desviación estándar menor. (En la figura 10.3 se omiten los puntos 2' y 3'
para evitar la confusión).
Aunque en la figura se representan tanto la línea como la curva, éstas no existen ltáv
simultáneamente en el mismo mundo. Ya sea que p = -0.1639 y la cur a existe b . dsi'
' o len p = 1 Y la recta existe. En otras palabras, aun cuan o un mver- p~~~ta pueda seleccionar
entre diversos puntos de la curva si p = -0.1639, no seleccionar entre los puntos de la curva y los
puntos de la recta.
2. El punto MV representa la cartera de varianza mínima. Ésta es la cartera con la varianza
mínima posible. Por definición, esta cartera también debe tener la desviación estándar mínima
posible. (El término varianza mínima de la cartera es común en la bibliografía, de manera que lo
usaremos. Tal vez, en realidad, la desviación estándar mínima sería mejor, porque la desviación
estándar, no la varianza, se mide en el eje horizontal de la figura 10.3.)
2.Un individuo que contempla una inversión en una cartera de Slowpoke y Supertech enfrenta un
conjunto de oportunidades o un conjunto viable representados por la curva de la figura 10.3. Es
decir, esta persona puede situarse en cualquier punto de la curva seleccionando la combinación
adecuada de los dos títulos. No puede situarse en ningún punto encima de la curva porque no
puede incrementar la rentabilidad de los títulos individuales, reducir las desviaciones estándar de
los títulos, ni reducir la correlación entre los mismos. Tampoco puede situarse en ningún punto
por debajo de la curva porque no puede reducir las rentabilidades de los títulos individuales,
incrementar las desviaciones estándar de los mismos, ni incrementar la correlación. (Es evidente
que este individuo no querría situarse en ningún punto por debajo de la curva, aun si pudiera
hacerlo.)
Si fuera relativamente tolerante al riesgo, podría seleccionar la cartera 3. (De hecho, incluso
podría seleccionar el punto final invirtiendo todo su dinero en Supertech.) Un inversionista con
menos tolerancia al riesgo podría seleccionar el punto 2. Un inversionista que quiere el mínimo
riesgo posible podría seleccionar el punto MV, la cartera con la varianza o la desviación estándar
mínima.
19

3.Nótese que la curva se dobla hacia atrás entre el punto de Slowpoke y el punto MV. Esto indica
que, para un cierto porcentaje del conjunto viable, la desviación estándar en realidad decrece
conforme se incrementa la rentabilidad esperada. El estudiante suele preguntar: "¿Cómo puede
un incremento de la proporción del título con riesgo, Supertech, tener como consecuencia una
reducción del riesgo de la cartera?"
Este sorprendente descubrimiento se debe al efecto de la diversificación.
Las rentabilidades de los dos títulos se correlacionan negativamente entre sí. Un título tiende a
subir cuando el otro baja y viceversa. Así, una pequeña cantidad adicional de Supertech actúa
como una compensación para una cartera que consta sólo de títulos de Slowpoke. El riesgo de la
cartera se reduce, lo que implica una inclinación en dirección contraria. En realidad, la inclinación
en dirección contraria ocurre siempre si p $ O; puede ocurrir o no cuando p > O. por supuesto, la
curva se dobla en dirección contraria sólo en una parte de su extensión. Conforme se continúa
incrementando el porcentaje de Supertech en la cartera, la alta desviación estándar de este título
a la larga hace que se incremente la desviación estándar de toda la cartera.
4.Ningún inversionista querría tener una cartera con una rentabilidad esperada menor que la
varianza mínima de la cartera. Por ejemplo, ningún inversionista seleccionaría la cartera 1. Esta
cartera tiene una rentabilidad esperada menor, pero una desviación estándar mayor que las de la
cartera de varianza mínima. Decimos que las carteras como la 1 están dominadas por la cartera
de varianza mínima. Aunque se dice que la curva entera de Slowpoke a Supertech es el conjunto
viable, los inversionistas sólo consideran la curva de MV a Supertech. Así, se conoce la curva de
MV a Supertech como el conjunto eficiente.
La figura 10.3 representa el conjunto de oportunidades en que p = . 0.1639-
Vale la pena analizar la figura 10.4, la cual ilustra las diversas curvas de las diferentes
correlaciones. Como se puede apreciar, cuanto menor es la correlación, más pronunciada es la
curva. Esto indica que el efecto de la diversificación se incrementa conforme p decrece. La
curvatura más aguda ocurre en el caso límite donde p = - l. Ésta es una correlación negativa
perfecta. En tanto que este caso extremo donde p = -1 parece fascinar al estudiante, tiene poca
importancia práctica. La mayoría de los pares de títulos presentan una correlación positiva. De
hecho, la correlación negativa fuerte y, ni qué decir tiene, la correlación negativa perfecta tienen
poca probabilidad de ocurrir."
Las gráficas que analizamos no son meras curiosidades intelectuales. Más bien, se pueden
calcular con facilidad los conjuntos eficientes en la vida real. Como mencionamos anteriormente,
por lo general se toman de los datos pasados, los datos de las rentabilidades, las desviaciones
20

estándar y las correlaciones, aunque también se pueden usar las nociones subjetivas para calcular
los valores de estas estadísticas. Una vez que se han determinado las estadísticas, se puede
comprar cualquiera de una gran variedad de paquetes de software para generar un conjunto
eficiente. Sin embargo, la selección de la cartera preferida depende de usted. Al igual que con
otras decisiones importantes como qué trabajo escoger, qué casa o automóvil comprar y cuánto
tiempo dedicar a este curso, no existe un programa de computación para seleccionar la cartera
preferida.
Se puede generar un conjunto eficiente en el que dos activos individuales sean carteras por sí
mismos. Por ejemplo, los dos activos de la figura 10.5 son una cartera diversificada de acciones
estadounidenses y una cartera diversificada de acciones extranjeras. Las rentabilidades
esperadas, las desviaciones estándar y el coeficiente de correlación se calcularon para el periodo
de 1973 a 1988. Se efectuó el análisis sin subjetividad. La cartera de acciones estadounidenses
con una desviación estándar de cerca de 0.173 es menos arriesgada que la cartera de acciones
extranjeras, la cual tiene una desviación estándar de alrededor de 0.222. Sin embargo, la
combinación de un pequeño porcentaje de la cartera estadounidense en realidad reduce el riesgo,
como se puede apreciar en el carácter de inclinación contraria de la curva. En otras palabras, más
que compensar la introducción de un conjunto de acciones más arriesgado a la cartera, la
diversificación se beneficia al combinar dos carteras diferentes. La cartera de varianza mínima es
posible cuando la inversión se compone aproximadamente de 80 por ciento de acciones
21

estadounidenses y alrededor del 20 por ciento de acciones extranjeras. La tenencia de más títulos
extranjeros incrementa el riesgo de toda la cartera.
La curva con inclinación contraria que aparece en la figura 10.5 es información importante que no
pasa por alto a los gestores de dinero estadounidense. En los últimos años, los gerentes de
fondos de pensiones y fondos mutuos de Estados Unidos han seleccionado oportunidades de
inversión en el extranjero. Otro punto que es importante ponderar se relaciona con los defectos
potenciales de usar solamente los datos pasados para calcular las rentabilidades futuras. Los
mercados de valores de muchos países extranjeros tales como Japón han tenido un crecimiento
fenomenal en años pasados. Así, una gráfica como la que se presenta en la figura 10.5 hace que
una inversión cuantiosa en estos mercados extranjeros parezca atractiva. Sin embargo, como
consecuencia de que no se pueden mantener para siempre las rentabilidades anormalmente
altas, se debe usar cierta subjetividad al pronosticar las rentabilidades futuras esperadas.
22

Pregunta Conceptual
• ¿Cuál es la relación entre la forma del conjunto eficiente para dos activos y la correlación entre
los mismos?
El conjunto eficiente para muchos títulos
El estudio anterior comprendió dos títulos. Vimos que una simple curva ilustró todas las carteras
posibles. Ya que los inversionistas por lo general tienen más de dos títulos, deberíamos ver la
misma curva cuando se tienen más de dos títulos. La zona sombreada de la figura 10.6 representa
el conjunto de oportunidades o conjunto viable cuando se consideran muchos títulos. Esta zona
representa todas las combinaciones posibles de rentabilidad esperada y desviación estándar de
una cartera. Por ejemplo, en un universo de 100 títulos, el punto 1 podría representar una cartera
de, por ejemplo, 40 títulos. El punto 2 podría representar una cartera de 80 títulos. El punto tres
podría representar un conjunto diferente de 80 títulos, o los mismos 80 títulos distribuidos de
manera distinta, u otra alternativa. Es obvio que las combinaciones son virtualmente infinitas. Sin
embargo, nótese que todas las combinaciones posibles caben en una zona restringida. Ningún
título o combinación de títulos puede encontrarse fuera de esta zona. Es decir, nadie puede elegir
una cartera con una rentabilidad esperada mayor que la que aparece en la zona sombreada
porque no se pueden alterar las rentabilidades de los títulos individuales. Además, nadie puede
elegir una cartera con una desviación estándar menor que la que aparece en la zona sombreada.
Tal vez sea más sorprendente el hecho de que nadie puede elegir una rentabilidad esperada
menor que la de la curva. En otras palabras, los mercados de capitales en realidad impiden que
una persona autodestructiva emprenda inversiones con pérdidas garantizadas.
23

Hasta ahora, la figura 10.6 es diferente de las gráficas anteriores. Cuando sólo intervienen dos
títulos, todas las combinaciones se encuentran en la misma curva. Por el contrario, con muchos
títulos, las combinaciones abarcan una zona completa. No obstante, nótese que un individuo
querrá situarse en algún punto del extremo superior entre MV y X El extremo superior, que hemos
indicado en la figura 10.6 con un trazo grueso, recibe el nombre de conjunto eficiente. Cualquier
punto que se halle por debajo del conjunto eficiente recibirá una rentabilidad esperada menor y la
misma desviación estándar que un punto situado en el conjunto eficiente. Por ejemplo, considere
R en el conjunto eficiente y exactamente abajo de éste. Si W presenta el riesgo que usted desea,
debería elegir a R . para tener una rentabilidad esperada mayor.
En el análisis final, la figura 10.6 es bastante similar a la 10.3. El conjunto eficiente de la figura
10.3 va de MV a Supertech. Contiene varias combinaciones de los títulos de Supertech y
Slowpoke. El conjunto eficiente de la figura 10.6 va de MV a X Contiene varias combinaciones de
muchos títulos. El hecho de que aparezca sombreada una zona completa en la figura 10.6 y no
en la figura 10.3, no sólo es una diferencia importante; ningún inversionista elegiría por ningún
motivo ningún punto más abajo del conjunto eficiente de la figura 10.6.
Hemos mencionado que en la vida real se puede trazar con facilidad un conjunto eficiente de dos
títulos. La tarea se hace más difícil cuando se incluyen títulos adicionales porque el número de
observaciones se incrementa. Por ejemplo: usar un análisis subjetivo para ponderar las
24

entabilidades esperadas y las desviaciones estándar de, por ejemplo, 100 o 500 títulos puede
volverse tarea muy extenuante, y las dificultades con las correlaciones pueden ser más serias.
Existen casi 5,000 correlaciones entre pares de títulos de un universo de 100 títulos.
Aunque gran parte de las matemáticas del cálculo del conjunto eficiente se originaron en la
década de 1950, el alto costo del tiempo de cálculo restringió la aplicación de los principios. En
los últimos años, se ha reducido el costo drásticamente. Ciertos paquetes de software permiten
calcular un conjunto eficiente de carteras de tamaño moderado. Según la opinión general, estos
paquetes se venden mucho, de manera que nuestro estudio anterior parecería importante en la
práctica.
Varianza y desviación estándar de una cartera de muchos activos
En el caso de los dos activos calculamos las fórmulas de la varianza y la desviación estándar. Ya
que en la figura 10.6 consideramos una cartera de muchos activos, vale la pena calcular estas
fórmulas en el caso de muchos activos. Podemos considerar la fórmula de la varianza de una
cartera de muchos activos como la extensión de la fórmula de la varianza de dos activos.
Para desarrollar la fórmula, usamos el mismo tipo de matriz que usamos en el caso de dos
activos. La tabla 10.3 ilustra la matriz. Suponiendo que existen N activos, escribimos los números l
a N en el eje horizontal, y 1 a N en el eje vertical. Esto crea una matriz de N x N = N 2 casillas.
Considere, por ejemplo, la casilia con una dimensión horizontal de 2 y una dimensión vertical de 3.
El término de la casii1a es X)X2 Cov(R),R2)· X) y X2 son los porcentajes de la cartera completa
invertidos en el tercer y el segundo activo, respectivamente. Por ejemplo, si un individuo con una
cartera de 1,000 dólares invierte 100 dólares en el segundo activo, X2 = 10% (100 dólares ,000
dólares). Cov(R),R2) es la covarianza entre las rentabilidades del tercer activo y las rentabilidades
del segundo activo. En seguida, considere la casilla con una dimensión horizontal de 3 y una
dimensión vertical de 2. El término de la casilla es X 7) Cov(R2,R)). Dado que Cov(R),R2) =
Cov(R2,R)), ambas casillas tienen el mismo valor. El segundo y el tercer título conforman un par
de acciones. De hecho, cada par de acciones aparece dos veces en la tabla, una vez en el lado
inferior izquierdo y otra en el lado superior derecho.
Suponga que la dimensión vertical es igual que la dimensión horizontal. Por ejemplo, el término de
la casilla es X)2(J; cuando las dos dimensiones son iguales. Aquí, (J; es la varianza de la
rentabilidad del primer título.
25

Así, los términos de la diagonal de la matriz contienen las varianzas de diversas acciones. Los
términos que se hallan fuera de la diagonal contienen las covarianzas. La tabla 10.4 relaciona los
números de la diagonal y los elementos que están fuera de la diagonal con la medida de la matriz.
El número de los términos diagonales (número de términos de la varianza) siempre es el mismo
que el número de acciones de la cartera. El número de términos que se encuentran fuera de la
diagonal (número de términos de la covarianza) se incrementa mucho más rápido que el número
de términos de la diagonal. Por ejemplo, una cartera de 100 acciones tiene 9,900 términos de
covarianza. Ya que la varianza de las rentabilidades de la cartera es la suma de todas las casillas,
tenemos:
26

La varianza de la rentabilidad de una cartera con muchos títulos depende más de las
covarianzas entre los títulos individuales que de las varianzas entre los mismos.
Preguntas Conceptuales
• ¿Cuál es la fórmula de la varianza de una cartera con muchos activos?
• ¿Cómo se puede expresar la fórmula en términos de una casilla o matriz?
Diversificación: Un ejemplo
Se puede ilustrar el punto anterior alterando ligeramente la matriz que se presenta en la tabla 1.
Suponga que hacemos los tres supuestos siguientes:
1. Todos los títulos tienen la misma varianza, que expresamos como var· En otras palabras,
cr; = var para todos los títulos.
2. Todas las covarianzas de la tabla 10.3 son las mismas. Representamos esta varianza
uniforme como cov. Es decir, Cov(RI, R/) = coy para todos los pares de títulos Se puede
demostrar con facilidad que
var> cov.
27

3. En la cartera se ponderan igual todos los títulos. Puesto que existen N activos, el promedio
ponderado de cada activo de la cartera es de l/N. En otras palabras, XI c= I IN para cada
título.
La tabla 10.5 es la matriz de las varianzas y las covarianzas de acuerdo con éstos tres supuestos.
Nótese que todos los términos de la diagonal son idénticos. De modo similar, todos los términos
que se hallan fuera de la diagonal son idénticas. Al igual que con la tabla ¡ 0.3, la varianza de la
cartera es la suma de los términos de las casillas de la tabla 10.5. Sabemos que existen N
términos en la diagonal que implican varianza. Similarmente, hay N x (N - 1) términos ajenos a la
diagonal que implican covarianza Sumando todas las casillas de la tabla 10.5 podemos expresar
las varianzas de la cartera como
Varianza. (l 0.1 O)
de la = N x (_1'2) va¡: + N (N -1) x (~) COy
cartera l\ N
Número de Cada Número de Cada término
términos de término de términos fuera fuera de la
la diagonal la diagonal de la diagonal diagonal
28

La ecuación (l 0.1 O) expresa la varianza de nuestra cartera especial como un suma ponderada de
la varianza promedio y la covarianza promedio del título.9 intuición se confirma cuando
incrementamos infinitamente el número de títulos a la cartera. La varianza de la cartera se
convierte en
Varianza de la cartera (cuando N -t ( 00= cov (10.11)
Esto ocurre porque (l) el promedio ponderado del término de la varianza, l/N, se reduce a O
conforme N se multiplica infinitamente, y (2) el promedio ponderado del término de la covarianza,
1 - 1 IN, se reduce a 1 conforme N se multiplica de modo infinito.
La fórmula (l 0.11) presenta un resultado importante e interesante. En nuestra cartera especial, las
varianzas de los títulos individuales desaparecen por completo conforme se incrementa el número
de títulos. Sin embargo, los términos de la covarianza prevalecen. De hecho, la varianza de una
cartera se convierte en la covarianza promedio, cov . Con frecuencia oírnos que debemos
diversificarnos. No debemos poner todos los huevos en una misma canasta. En este ejemplo se
puede ilustrar el efecto de la diversificación sobre el riesgo de una cartera. Las varianzas de los
títulos individuales se diversifican, pero los términos de la covarianza no pueden hacerlo.
Debemos analizar el hecho de que podemos diversificar parte de nuestro riesgo, pero no todo.
Considere al señor Smith, que lleva 1,000 dólares a la mesa de ruleta de un casino. Sería muy
arriesgado que apostara todo su dinero en un giro de la ruleta. Por ejemplo, imagine que apuesta
su cantidad total de 1,000 dólares al color rojo, Si la ruleta cayera en rojo, obtendría 2,000 dólares,
pero si ésta cayera en negro, perdería todo. Suponga, en cambio, que distribuyera su dinero en
1,000 giros distintos de la ruleta apostando un dólar cada vez al color rojo. La probabilidad nos
indica que puede contar con ganar la mitad de las veces. En otras palabras, es muy probable que
al final tenga los 1,000 dólares que tenía al principio."
Ahora, comparemos esto con nuestro ejemplo del mercado de valores, que ilustramos en la figura
10.7. La varianza de la cartera que sólo tiene un título es, por supuesto, var porque la varianza de
una cartera que sólo tiene un título es la varianza del título. La varianza de la cartera decrece
conforme se agregan más títulos, lo que es una evidencia del efecto de diversificación. Sin
embargo, a diferencia del ejemplo del señor Smith y la ruleta, la varianza de la cartera nunca se
puede reducir a cero. Más bien, llega a un punto mínimo de COV, que es la covarianza de cada
par de títulos."
29

Puesto que la varianza de una cartera se aproxima asintóticamente a CüV, cada título adicional
sigue reduciendo el riesgo. Así, si no hubiera ni comisiones ni otros costos de transacción,
podríamos decir que nunca tendríamos demasiada diversificación. No obstante, en la vida real, la
diversificación tiene un costo. Las comisiones por dólar invertido decrecen conforme es más
cuantiosa la compra de una sola acción. Por desgracia, debemos comprar menos acciones de
cada título cuando adquirimos más títulos diferentes. Comparando los costos y beneficios de la
diversificación, Meir Statman sostiene que una cartera de aproximadamente 30 acciones necesita
lograr una diversificación óptima.
Hemos mencionado que var tiene que ser mayor que cov . Por lo tanto, la varianza de la
rentabilidad de un título se puede descomponer de la siguiente manera:
Riesgo total del ti
Riesgo de la
Riesgo
• no sistemá
tulo individual
cartera
diversificable
tico (var -
(V3r)
(COv)
cov)
+
El riesgo total, que en nuestro ejemplo es var, es el riesgo que se corre al tener ~olo Un título. El
riesgo de la cartera es el que se corre, aun después de haber ogrado una diversificación completa,
30

que en nuestro ejemplo es COY. A menudo se designa al riesgo de la cartera también como riesgo
sistemático o de mercado El riesgo diversificable, único o no sistemático es el que se puede
diversificar en una cartera numerosa que, por definición, debe ser (var - cov).
Para un individuo que selecciona una cartera diversificada, el riesgo total de un título individual no
es importante: Al considerar sumar un título a una cartera diversificada, a este individuo le interesa
el porcentaje del riesgo del título que no se puede diversificar. Alternativamente, se puede
considerar el riesgo como la contribución de un título al riesgo de toda la cartera. Más tarde
abordaremos el caso en que los títulos contribuyen en distinto grado al riesgo de toda la cartera.
El riesgo y el inversionista razonable
Habiendo analizado todo este problema para demostrar que el riesgo no sistemático desaparece
en una cartera bien diversificada: ¿cómo sabemos si los inversionistas se interesan siquiera en
dichas carteras? ¿Qué sucede si les gusta el riesgo y no quieren que éste desaparezca?
Debemos admitir que, al menos teóricamente, esto es posible, si bien demostraremos que ello no
describe a lo que consideramos como un inversionista típico, Nuestro inversionista típico es
adverso al riesgo. Son muchas las maneras en que podemos definir el comportamiento de
aversión al riesgo, pero nos inclinamos por el ejemplo siguiente: una apuesta justa es la que tiene
una rentabilidad esperada de cero. Un inversionista adverso al riesgo preferiría evitar una apuesta
justa.
¿Por qué los inversionistas seleccionan carteras bien diversificadas? Nuestra respuesta es que
son adversos al riesgo y este tipo de personas evita el riesgo innecesario como el riesgo no
sistemático de una acción. Si usted no cree que ésta sea una respuesta adecuada de por qué los
inversionistas eligen carteras bien diversificadas y evitan el riesgo no sistemático, considere si
usted correría tal riesgo. Por ejemplo, suponga que trabajó durante todo el verano y ahorró 5,000
dólares que pretendía usar para sus gastos de estudios. Ahora, suponga que alguien acude a
usted y le propone apostar su dinero lanzando una moneda al aire: si sale cara, duplicará su dinero
y si sale cruz lo pierde todo.
¿Aceptaría usted semejante apuesta? Tal vez lo haría, pero la mayor parte de la gente no.
Dejando a un lado cualquier cuestión moral en tomo a las apuestas Y admitiendo que algunas
personas aceptarían dicha apuesta, nuestra opinión es que el inversionista promedio no lo haría.
Para inducir al inversionista típico adverso al riesgo a aceptar una apuesta justa, tenemos que
"dorarle la píldora". Por ejemplo, quizá tendría usted que incrementar las posibilidades de ganar de
31

50-50 a 70-30 o más. Se puede inducir al inversionista adverso al riesgo a aceptar una apuesta
justa sólo si se le presenta un panorama más prometedor de modo que ésta se vuelva injusta y
favorezca al inversionista.
Preguntas Conceptuales
• ¿Cuáles son los dos componentes del riesgo total de un título?
• ¿Por qué la diversificación no elimina todo el riesgo?
Solicitud y otorgamiento de préstamo sin riesgo La figura 10.6 supone que todos los títulos del
conjunto eficiente son arriesgados. De modo alternativo, un inversionista podría combinar
fácilmente una inversión arriesgada con una sin riesgo, como una inversión en letras de cambio
del Tesoro de Estados Unidos. El ejemplo siguiente ilustra esto.
Ejemplo
La señorita Bagwell está considerando invertir en acciones ordinarias de Merville Enterprises.
Además, la señorita Bagwell solicitará u otorgará préstamos a la tasa sin riesgo. Los parámetros
pertinentes son
Rentabilidad esperada de las
acciones ordinarias de Merville
Rentabilidad garantizada
del activo sin riesgo
Rentabilidad 14% 10%
Desviación estándar 0.20 0
Suponga que la señorita Bagwell decide invertir un total de 1,000 dólares, de los cuales invertirá
350 dólares en Mcrville Enterprises y destinará 650 dólares al activo sin riesgo. La rentabilidad
esperada de su inversión total sólo es un promedio ponderado de las dos rentabilidades:
Rentabilidad esperada
de una cartera que con s -
tadeunactivosinriesgo = 0.114 = 0.35 x 0.14 + O.óS x 0.10 y un activo
arriesgado
Dado que la rentabilidad de una cartera es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada del
activo con riesgo (Merville Enterprises) y el activo sin riesgo, el cálculo es similar al que hemos
efectuado para dos activos arriesgados. En otras palabras, aquí se aplica la ecuación (10.3).
32

Utilizando la ecuación (10.4), podemos expresar la fórmula de la varianza de la cartera como
Xl 2 2X X x: 1
Mervil1e (J Mervil1e + Mervil1e Sin riesgo (J Mervil1e,Sin riesgo + Sin riesgo (Sin
riesgo
No obstante, por definición, el activo sin riesgo no es variable. Así, tanto GMervil1e,Sin riesgo
como (sin riesgo equivalen a cero, reduciendo la expresión anterior a
Varianza de la cartera que consta de un
activo sin riesgo y un activo arriesgado =
2 2 2 2
XMervillc(JMerville = (0.3~) x (0.20) = 0.0049
La desviación estándar de la cartera es
Desviación estándar de la cartera que consta
de Un activo sin riesgo y un activo arriesgado =
XMer,illeO'Mcnille = 0.35 x 0.20 = 0.07
La figura 10.8 ilustra la relación entre el riesgo y la rentabilidad de un activo con riesgo y otro sin
riesgo. La distribución de la señorita Bagwell de 35-65 Mi. ciento entre los dos activos se
33

epresenta con una línea recta entre la tasa sin riesgo y una inversión pura en Merville Corp.
Nótese que, a diferencia del caso de dos activos con riesgo, la línea del conjunto de oportunidades
es recta, no curva.
Alternativamente, suponga que la señorita Bagwell solicita un préstamo de 200 dólares a la tasa
sin riesgo. Sumando este a la cantidad original de 1,000 dólares, invierte un total de 1,200 dólares
en la Merville Corp. Su rentabilidad esperada sería
Rentabilidad esperada de la cartera cre- ada mediante la solicitud de préstamos = 14.8% = 1.20 x
0.14 + (-0.2) x 0.10
para invertir en un activo arriesgado
Aquí, ella invierte 120 por ciento de la inversión original de 1,000 dólares solicitando un préstamo
del 20 por ciento de la inversión original. Cabe señalar que la rentabilidad de 14.8 por ciento es
mayor que la rentabilidad esperada de 14 por ciento de Merville Corp. Esto sucede porque está
solicitando un préstamo a una tasa del 10 por ciento para invertir en un título con una rentabilidad
esperada mayor del 10 por ciento.
La desviación estándar es
Desviación estándar de la cartera creada
mediante la solicitud de préstamos = 0.24 = 1.20 x 0.2
para invertir en un activo arriesgado
La desviación estándar de 0.24 es mayor que la desviación estándar de 0.20 de la Merville Corp.
porque la solicitud de préstamos incrementa la variabilidad de la inversión. Esta inversión también
aparece en la figura 10.8.
Hasta ahora, hemos supuesto que la señorita Bagwell puede solicitar préstamos a la misma tasa
que puede recibirlos. u Ahora permítanos considerar el caso en el que la tasa de solicitud de
préstamo es más alta que la de otorgamiento de préstamo. La línea punteada de la figura J 0.8
ilustra el conjunto de oportunidades para las oportunidades de solicitud de préstamo de este caso.
Esta línea se encuentra debajo de la línea continua porque una tasa de solicitud de préstamo más
alta reduce la rentabilidad esperada de la inversión.
34

La cartera óptima
La sección anterior trató sobre una cartera que constaba de un activo sin riesgo y un activo
arriesgado. En realidad, un inversionista podría combinar una inversión en el activo sin riesgo con
una cartera de activos arriesgados. La figura 10.9 ilustra esto.
Considere el punto Q, el cual representa una cartera de títulos. El punto Q se encuentra dentro del
conjunto viable de títulos arriesgados. Supongamos que este punto representa una cartera que
consta de una inversión del 30 por ciento en AT&T, 45 por ciento en General Motors (GM) y 25 por
ciento en IBM. Los individuos que combinan inversiones en Q con inversiones en el activo sin
riesgo alcanzarían puntos a lo largo de la línea recta de RF a Q. Nos referimos a esta línea como 1.
Por ejemplo, el punto 1 representa una cartera del 70 por ciento en el activo sin riesgo y 30 por
ciento en las acciones representadas por Q. Un inversionista que cuenta con 100 dólares invertiría
70 dólares en el activo sin riesgo y 30 dólares en Q, si eligiera al punto 1 como su cartera.
Podemos decir que invierte 70 dólares en el activo sin riesgo, 9 dólares (0.3 x 30 dólares) en AT &
T, 13.50 dólares (0.45 x 30 dólares) en GM y 7.50 dólares (0.25 x 30 dólares) en IBM. El punto 2
también representa una cartera del activo sin riesgo y Q, con una inversión mayoritaria (65%) en
Q.
Se alcanza el punto 3 solicitando préstamos para invertir en Q. Por ejemplo, un inversionista que
tiene 100 dólares solicitaría al banco o a un corredor un préstamo de 40 dólares para invertir 140
dólares en Q. Podemos decir que esta persona solicitó un préstamo de 40 dólares y contribuyó
con 100 dólares de su propio dinero para invertir 42 dólares (0.3 x 140 dólares) en AT&T, 63
dólares (0.45 x 140 dólares) en GM, y 35 dólares (0.25 x 140 dólares) en 18M.
Aunque cualquier inversionista puede alcanzar cualquier punto de la línea J, ~tngún punto de la
línea es óptimo. Para apreciar esto, considere la línea JI, una te~ que va de RF a A. El punto A
representa una cartera de títulos arriesgados. a .1mea I1 representa las carteras que se crean
mediante las combinaciones del archivo sin riesgo y los títulos de A. Los puntos que se hallan
entre RF y A son carteras en las que se invierte algún dinero en el activo sin riesgo y se destina el
resto aA. Los puntos que se localizan más allá de A se logran mediante la solicitud de préstamo a
la tasa sin riesgo para comprar más deA de lo que podríamos comprar con nuestros fondos
originales nada más.
35

Como se aprecia en la ilustración, la línea Il es tangente al conjunto eficiente de títulos
arriesgados. Sin que importe el punto que se pueda alcanzar sobre la línea I, se puede alcanzar un
punto con la misma desviación estándar y una rentabilidad esperada mayor sobre la línea Il. De
hecho, ya que la línea Il es la tangente al conjunto eficiente, ofrece las mejores oportunidades
posibles al inversionista. En otras palabras, se puede considerar la línea Il, que con frecuencia se
conoce como la línea del mercado de capitales, como el conjunto eficiente de todos los activos,
tanto arriesgados como sin riesgo. Un inversionista que tiene un alto grado de aversión al riesgo
podría seleccionar un punto entre RF y A, quizá el punto 4. Un individuo menos adverso al riesgo
podría seleccionar un punto más cerca.'10 a A o aún más allá de A. Por ejemplo, el punto 5
corresponde a una persona que solicita dinero prestado para incrementar su inversión en A.
La gráfica ilustra un punto de importancia. Con la solicitud y el otorgamiento de préstamos a la tasa
sin riesgo, la cartera de activos arriesgados que un inversionista tiene siempre sería el punto A. Sin
que importe cuán tolerante sea el inversionista frente al riesgo, éste nunca escogería ningún otro
punto del conjunto eficiente de activos arriesgados (representado por la curva XA Y) ni tampoCo
algún otro punto dentro de la región viable. Más bien, si tuviera una gran aversión al riesgo,
36

combinaría los títulos deA con los activos sin riesgo. Si fuera poco adverso al riesgo, solicitaría a
préstamo el activo sin riesgo para invertir mas fondos en A. .
Este resultado establece lo que los economistas financieros llaman el principio de separación. Es
decir, el inversionista toma dos decisiones por separado:
1. Después de calcular (a) la rentabilidad esperada y las varianzas de los títulos individuales, y
(b) las covarianzas entre los pares de títulos, el inversionista calcula el conjunto eficiente de
activos arriesgados, que está representado por la curva XA y de la figura 10.9 Y determina el
punto A, la tangencia entre la tasa sin riesgo y el conjunto eficiente de activos arriesgados (curva
XA Y). El punto A representa la cartera de activos arriesgados que el inversionista tendrá. Este
punto se determina exclusivamente por sus cálculos de las rentabilidades, varianzas y
covarianzas. En este paso no se requieren características personales, como el grado de aversión
al riesgo.
2.Ahora, el inversionista tiene que determinar la manera en que combinará el punto A, su cartera
de activos arriesgados, con el activo sin riesgo. Podría invertir una parte de sus fondos en el
activo sin riesgo y otra parte en la cartera A. En este caso, terminaría en algún punto sobre la
línea que va de RF a A. De modo alternativo, podría solicitar un préstamo a la tasa sin riesgo y
contribuir también con parte de sus fondos, invirtiendo el total en la cartera A. Terminaría en algún
punto sobre la línea JI, más allá de A. Su posición en el activo sin riesgo, es decir, su decisión del
punto en que quiere situarse, se determina por sus características internas, como su tolerancia al
riesgo.
Preguntas Conceptuales
• ¿Cuál es la fórmula de la desviación estándar de una cartera que consta de un activo sin riesgo
y un activo arriesgado?
I ¿Cómo se determina la cartera óptima entre el conjunto eficiente de activos arriesgados?
Equilibrio de mercado
Definición de la cartera de equilibrio de mercado
El análisis anterior se relaciona con un inversionista. Sus cálculos de las rentabilidades esperadas
y las varianzas de los títulos individuales y las covarianzas entre los pares de títulos son sólo
suyos. Es obvio que otros inversionistas tendrían cálculos diferentes de las variables anteriores.
Sin embargo, los cálculos podrían no variar mucho porque todos los inversionistas tendrían
37

expectativas a partir de los mismos datos sobre el movimiento de los precios pasados y otra
información disponible al público.
Con frecuencia, los economistas financieros se imaginan un mundo en el que todos los
inversionistas tienen las mismas estimaciones de las rentabilidades esperadas, varianzas y
covarianzas. Aunque esto nunca puede ser literalmente cierto, se puede considerar como un
supuesto útil y simpliticativo en un mundo donde los inversionistas tienen acceso a fuentes de
información similares. Este supuesto se conoce como las expectativas homogéneas."
Si todos los inversionistas tuvieran expectativas homogéneas, la figura 10,9 sería la misma para
todos los individuos. Es decir, todos los inversionistas obtendrían el mismo conjunto eficiente de
activos arriesgados porque trabajarían con los mismos datos. Este conjunto eficiente de activos
arriesgados se representa mediante la curva X4Y. Todos los inversionistas considerarían el punto
A como la cartera de activos arriesgados que deben tener porque a todos se les aplicaría la misma
tasa sin riesgo.
Este punto A cobra gran importancia porque todos los inversionistas comprarían los títulos
arriesgados que representa. Tales inversionistas con un alto grado de aversión al riesgo podrían
combinar A con una inversión en el activo sin riesgo, situándose, por ejemplo, en el punto 4. Los
inversionistas poco adversos al riesgo podrían solicitar un préstamo para ubicarse, por ejemplo,
en el punto 5. Ya que ésta es una conclusión muy importante.
Si todos los inversionistas eligen la misma cartera de activos arriesgados, es posible determinar
cuál es la cartera. El sentido común nos indica que es una cartera de valor de mercado
ponderada de todos los títulos existentes, es decir, la cartera de mercado.
En la práctica, los economistas financieros utilizan un índice de base amplia como el Standard &
Poor (S&P) 500 como una representación de la cartera de mercado. Por supuesto, en la
práctica, no todos los inversionistas tienen la misma cartera. Sin embargo, sabemos que un gran
número de inversionistas tienen carteras diversificadas, en particular cuando se incluyen fondos
mutuos o fondos de pensiones. Un índice de base amplia es una buena representación de las
carteras altamente diversificadas de muchos inversionistas.
Definición de riesgo cuando los inversionistas tienen la cartera de mercado
La sección anterior afirma que muchos inversionistas tienen carteras diversificadas similares a
los índices de base amplia. Este resultado nos permite ser más precisos en cuanto al riesgo de
un título en el contexto de una cartera diversificada.
38

Los investigadores han demostrado que la mejor medida del riesgo de un título de una cartera
numerosa es la beta del título.
Cov(R¡, RM) P~ = a 2 (RM)
( 10.15)
donde a\RM) es la varianza del mercado. Aunque se pueden usar tanto Cov(R, RM) como Pi
como medidas de la contribución del título i al riesgo de la cartera de mercado, PI es mucho
más común. La intuición básica de beta es que mide la sensibilidad de un cambio de la
rentabilidad de un título individual al cambio de la rentabilidad de la cartera de mercado. Una
propiedad útil es que la beta promedio de todos los títulos es 1 cuando se pondera por la
proporción del valor del mercado de cada título en comparación con la de la cartera de
mercado. Es decir,
N
LX;~; = 1 ;=\
Beta como una medida de sensibilidad
El análisis anterior demostró que la beta de un título es la covarianza estandarizada entre la
rentabilidad del título y la del mercado. Aunque esta explicación es 100 por ciento correcta, no es
probable que sea 100 por ciento intuitivamente atractiva para alguien que no sea un estadístico.
Por fortuna, existe una explicación más intuitiva de beta. Presentamos esta explicación por medio
de un ejemplo.
Ejemplo
Considere las siguientes rentabilidades posibles tanto de las acciones de Jelco, Inc., como del
mercado:
Aunque la rentabilidad del mercado sólo tiene dos resultados posibles (15% Y -5%), la rentabilidad
de Jelco tiene cuatro resultados posibles. Es útil considerar la rentabilidad esperada de un título
teniendo en cuenta una rentabilidad del mercado determinada. Suponiendo que los cuatro estados
son igualmente posibles, tenemos
Al alza A la baja
5% - 15%
Rentabilidad esperada de Jelco, Inc, (porcentaje)
25%= 25% x 'h+ 15%x IIe -10% = -5% x IIe + (-15%) x 'l:
39

Rentabilidad del mercado (porcentaje)
Tipo de economía
Je1co, Inc., responde a los movimientos del mercado porque su rentabilidad esperada es mayor
en los estados al alza que en los estados a la baja. Ahora calculamos con exactitud el grado de
sensibilidad de un título a los movimientos del mercado. La rentabilidad del mercado en una
economía al alza es del 20 por cierto d 5% - (-5%)] mas alta que en una econorma a la baja. SIn
embargo, la rentabilidad esperada de Jelco en una economía al alza es de 30 por ciento [20% - (-
10%)] ~~~ ~Ita que en una economía a la baja. Así, Jelco. Inc. tiene un coeficiente de sensibilidad
de 1.5 (30%/20%). .
J 1 Esta relación aparece en la figura 10.10. Se ilustran las rentabilidades de e CQ y el mercado
como cuatro puntos. Además, representamos la rentabilidad esperada de un título para cada una
de las dos rentabilidades posibles del merca. do. Estos dos puntos, que indicamos con una.%; se
unen mediante una línea llamada línea característica del título. La inclinación de.la línea es de 1.5,
el número que calculamos en el párrafo anterior. Este coeficiente de sensibilidad de 1.5 es la beta
de Jelco.
Rentabilidad Rentabilidad de
Tipo de del mercado Jelco, lnc,
Estado economía (porcentaje) (porcentaje)
1 Al alza 15 25
11 Al alza 15 15
III A la baja -5 -5
IV A la baja -5 -15
La interpretación de la beta de la figura 10.10 es intuitiva. La gráfica nos señala que las
rentabilidades de Jelco se incrementan 1.5 veces más que las del mercado. Cuando el mercado
presenta un buen comportamiento, se espera que las acciones de Jelco se comporten aún mejor.
Cuando el comportamiento del mercado es pobre, se espera que la rentabilidad de Jelco se
comporte peor. Ahora, imagine un individuo que tiene una cartera que se aproxima a la de
mercado y está considerando integrar a Jelco a su cartera. Como consecuencia del factor de
magnificación de 1.5, esta persona considerará que estas acciones contribuyen mucho al riesgo
de la cartera. Hemos demostrado que la beta del título promedio en el mercado es l. Jelco
40

contribuye más que un título promedio al riesgo de una cartera numerosa y diversificada porque
Jelco es más susceptible a los movimientos del mercado.
Podemos alcanzar un mayor discernimiento analizando los títulos con betas negativas. Debemos
considerar estos títulos como compensaciones o pólizas de seguro. Se espera que el título
presente un buen comportamiento cuando el mercado tienda a bajar y viceversa. Por lo tanto, la
integración de un título de beta negativa a una cartera cuantiosa y diversificada en realidad reduce
el riesgo de la cartera)
Los dos puntos marcados con una X representan la rentabilidad esperada de
Jelco para cada resultado posible de la cartera. La rentabilidad esperada de
Jelco se relaciona positivamente con la rentabilidad del mercado. Dado que la
inclinación es de 1.5, decimos que la beta de Jelco es de 1.5. Beta mide la
sensibilidad de la rentabilidad que el título tiene al movimiento del mercado.
*(20%, 15%) se refiere al punto en que la rentabilidad de un título es del 20 por
ciento y la del mercado es del 15 por ciento.
Una prueba
Hemos usado estas preguntas en exámenes pasados de finanzas corporativas:
1. ¿Qué tipo de inversionista considera racionalmente la varianza (o la desviación estándar)
de la rentabilidad de un título individual como la medida adecuada del riesgo del título?
41

2. ¿Qué tipo de inversionista considera racionalmente la beta de un título individual como la
medida apropiada del riesgo del título?
Una respuesta correcta podría consistir en lo siguiente:
Un inversionista sensato y adverso al riesgo considera la varianza (o la desviación estándar) de la
rentabilidad de su cartera como la medida apropiada del riesgo de su cartera. Si por una u otra
razón el inversionista sólo puede tener un título, la varianza de la rentabilidad de ese título se
convierte en la varianza de la rentabilidad de la cartera, Por lo tanto, la varianza de la rentabilidad
de un título es la medida adecuada del riesgo del título.
Si un individuo tiene una cartera diversificada, también considera la varianza (o la desviación
estándar) de la rentabilidad de su cartera como la medida apropiada del riesgo de su cartera.
Sin embargo, ya no siente interés alguno por la varianza de la rentabilidad de cada título individual.
Más bien, le interesa la contribución de un título individual a la varianza de la cartera.
De acuerdo con el supuesto de las expectativas homogéneas, todos los individuos tienen la cartera
de mercado. Así, medimos el riesgo como la contribución de un título individual a la varianza de la
cartera de mercado. Esta contribución es la beta del título cuando se le estandariza de modo
correcto, En tanto que pocos inversionistas tienen exactamente la cartera de mercado, muchos
pueden tener carteras razonablemente diversificadas. Estas carteras se aproximan lo suficiente a
la cartera de mercado, de modo que es probable que la beta de un título sea una medida racional
de su riesgo.
Preguntas Conceptuales
• Si todos los inversionistas tienen expectativas homogéneas, ¿qué cartera de activos con
riesgo tienen?
• ¿Cuál es la fórmula de la beta?
• ¿Por qué heta es la medida adecuada del riesgo de un título individual de una cartera grande?
Relación entre riesgo y rentabilidad
Es un lugar común pensar que la rentabilidad de un título se debería relacionarse positivamente
con su riesgo. Es decir, que los individuos tendrán un título arríes, gado sólo si su rentabilidad
esperada compensa su riesgo. Este razonamiento, válido independientemente de la medida del
42

iesgo. Ahora, considere nuestro mundo, donde todos los individuos (1) tienen expectativas
homogéneas y (2) todos pueden solicitar y otorgar préstamos a la tasa sin riesgo. Aquí, todos los
indviduos tienen la cartera de mercado de títulos arriesgados. Hemos demostrado que, en este
contexto, la beta de un título es la medida adecuada de riesgo. Por lo tanto, la rentabilidad
esperada de un título se debería relacionar de manera positiva con su beta. Ilustramos esto en la
figura 10.11. La línea que se inclina hacia arriba en la figura se llama línea del mercado de títulos
(SML, security market line).
Existen seis puntos de importancia en relación con esta figura.
1. Una beta de cero. La rentabilidad esperada de un título con una beta de cero es la tasa sin
riesgo, RF. Puesto que un título con una beta de cero no presenta riesgo, su rentabilidad
esperada debería ser igual que la tasa sin nesgo.
2. Una beta de uno. La ecuación (10.16) indica que la beta promedio de todos los títulos es 1
cuando se pondera de acuerdo con la proporción del valor de mercado de cada título comparado
con el de la cartera de mercado. La beta de la cartera de mercado es 1 porque esta cartera se
forma ponderando cada título de acuerdo con su valor de mercado. Ya que todos los títulos que
tienen la misma beta también tienen la misma rentabilidad esperada, la rentabilidad esperada de
cualquier título con una beta de 1 es RM, la rentabilidad esperada de la cartera de mercado.
3.Linealidad. La intuición tras de la curva que se inclina hacia arriba es evidente. Puesto que beta
es la medida adecuada del riesgo, los títulos de beta alta deberían tener una rentabilidad
esperada mayor que la de los títulos de beta baja. Sin embargo, la figura 10.11 presenta algo
más que una curva que se inclina hacia arriba; la relación entre la rentabilidad esperada y beta
corresponde a una línea recta.
43

4.
Es fácil demostrar que la línea de la figura 10 .11 es recta. Para ver esto, considere que el título S
tiene, por ejemplo, una beta de 0.8. Este título está representado por un punto debajo de la línea
del mercado de títulos de la figura. Cualquier Inversionista podría duplicar la beta del título S
mediante la compra de una cartera con 20 por ciento en el activo sin riesgo y 80 por ciento en un
título con una beta de l. Sin embargo, la cartera "hecha en casa" se situaría por sí misma sobre la
SML. En otras palabras, la cartera domina el título S porque ésta tiene una rentabilidad esperada
mayor y la misma beta.
Ahora, considere el título T con, por ejemplo, una beta mayor que l. Este título también se halla
debajo de la SML en la figura 10.11. Cualquier inversionista podría duplicar la beta del título T
solicitando un préstamo para invertir en un título con una beta de l. Esta cartera también debe
situarse sobre la SML, dominando por lo tanto el título T.
Ya que nadie tendría ni S ni T, los precios de sus acciones bajarían. Este ajuste del precio
incrementaría las rentabilidades esperadas de los dos títulos. El precio se seguiría ajustando hasta
que los des títulos se encontraran sobre la línea del mercado de títulos. El ejemplo anterior
consideraba dos acciones sobrevaluadas y una SML recta Los títulos que se hallan sobre la SML
están subvaluados. Sus precios tienen que subir hasta que sus rentabilidades esperadas alcancen
la línea. SI la SML tuera curvilínea, muchas acciones estarían subvaluadas. Para equilibrar, se
tendrían todos los títulos sólo cuando los precios cambiaran de manera que la SML fuera recta; en
otras palabras, se lograría la linealidad.
44

4. El modelo pu/'(/ la valoración de los activos de capital. Quizá recuerde usted de sus cursos de
álgebra, que se puede describir algebraicamente una línea si se conocen su intersección y su
pendiente. En la figura 10.11 podemos apreciar que la intersección de la SML es Rp Puesto que la
rentabilidad esperada de cualquier título con una neta de 1 es R.\I' la pendiente de la línea es RM -
R¡. Esto nos permite expresar algebraicamente la SML como de acuerdo con los economistas
financieros, esta fórmula algebraic:l para describir la SivlL se llama el modelo para la valoración de
los activos de capital. Podemos ilustrar la fórmula suponiendo algunos casos especiales
G. SlIfJongo (fllt' r) .. () Aquí ,Ji. '" R¡, es decir, la rentabilidad esperada de un título es igll~¡] ~l
la tasa sin riesgo. f\ll'mionamos esto en el punto ( 1 j.
b. Suponga que ~ = l. La ecuación se reduce a R = RM, es decir, la rentabilidad esperada del
título es igual a la rentabilidad esperada del" mercado. Mencionamos esto en el punto (2).
Al igual que cualquier línea, la línea representada por la ecuación (10.11) tiene tanto una
intersección como una pendiente. RF, la tasa sin riesgo, es la intersección. Dado que la beta del
título es el eje horizontal, RM menos RF es la pendiente. La línea se inclinará hacia arriba mientras
que la rentabilidad esperada en el mercado sea mayor que la tasa sin riesgo. La teoría sugiere que
la rentabilid4d esperada de la cartera de mercado es mayor que la tasa sin riesgo porque esta
cartera es un activo arriesgado. Además, la evidencia empírica del capítulo anterior demostró que
la rentabilidad real de la cartera de mercado durante los pasados 66 años fue bastante mayor que
la tasa sin riesgo.
Ejemplo
El capital social de Aardvark Enterprises tiene una beta de 1.5 y el de Zebra Enterprises tiene una
beta de 0.7. La tasa sin riesgo es del 7 por ciento y la diferencia entre la rentabilidad esperada del
mercado y la tasa sin riesgo es del 8.5 por ciento. 16 Las rentabilidades esperadas de los dos
títulos son
Rentabilidad esperada de Aardvark: 19.75% = 7%+ 1.5 x
8.5%
( 10.18)
Rentabilidad esperada de Zebra: 12.95 % = 7% + 0.7 x
8.5% •
5.Carteras y títulos. Nuestro estudio sobre el CAPM consideró los títulos individuales. ¿La
relación de la figura 10.11 Y la ecuación (l 0.18) son válidas también para carteras?
45

Sí; para apreciarlo, considere una cartera formada por medio de la inversión equitativa en dos
títulos, los de Aardvark y los de Zebra. La rentabilidad esperada de la cartera es
Rentabilidad esperada de la cartera: 16.35% = 0.5 x 19.75%
+ 0.5 x 12.95%
( 10.19)
La beta de la cartera es sencillamente un promedio ponderado de los dos títulos. Por lo tanto,
tenemos
Beta de la cartera:
1.1= 0.5 x 1.5 + 0.5 x 0.7
De acuerdo con el CAPM, la rentabilidad esperada de la cartera es
16.35%= 7% + 1.1 x 8.5%
16 Como indica la tabla 9.2, Ibbotson y Sinquefield encontraron que la rentabilidad esperada de
las acciones ordinarias fue del 12.4 por ciento de 1926 a 1991. La tasa sin riesgo promedio
durante el mismo periodo fue de 3.9 por ciento. Así, la diferencia promedio entre éstas fue del 8.5
por ciento (12.4% - 3.9%). Los economistas financieros usan éste como el mejor cálculo de la
diferencia futura. Con frecuencia usaremos esto en el texto.
Puesto que e 1 valor de la expresión (10 .19) es e I mismo que el de la expresión (10.20), el
ejemplo demuestra que el CAPM corresponde tanto a las carteras como a los títulos individuales.
6.Una confusión potencial. El estudiante suele confundir la SML de la figura 10.11 con la línea del
mercado de capitales (línea l! de la figura 10.9). En realidad, las líneas son bastante distintas.
La línea del mercado de capitales ilustra el conjunto eficiente de carteras compuestas tanto por
activos arriesgados como por el activo sin riesgo. Cada punto de la línea representa una cartera
completa. El punto A es una cartera que consta exclusivamente de activos arriesgados. Todos
los demás puntos de la línea representan una cartera de títulos de A combinada con el activo sin
riesgo. Los ejes de la figura 10.9 son la rentabilidad esperada de una cartera y la desviación
estándar de una cartera. Los títulos individuales no se sitúan a lo largo de la línea I/.
El SML de la figura 10.11 relaciona la rentabilidad esperada con la beta.
Existen por lo menos dos diferencias entre las figuras 10.11 Y 10.9. Primero, la beta aparece en
el eje horizontal de la figura 10.11, pero en el eje horizontal de la figura 10.9 aparece la
desviación estándar. Por otro lado, la SML de la figura 10.11 corresponde a todos los títulos
46

individuales y todas las carteras posibles, en tanto que la línea JI (la línea del mercado de
capitales) de la figura 10.9 sólo corresponde a las carteras eficientes.
Preguntas Conceptuales
• ¿Por qué la SML es una línea recta?
• ¿Cuál es el modelo para la valoración de los activos de capital?
• ¿Qué diferencias existen entre la línea del mercado de capitales y la línea del mercado de
títulos?
Resumen y conclusiones Este capítulo expone los fundamentos de la teoría de la cartera
moderna. Nuestros puntos básicos son los siguientes:
1. Este capítulo nos enseña cómo calcular la rentabilidad esperada y la varianza de los títulos
individuales, así como la covarianza y la correlación de los pares de títulos. Considerando
estas estadísticas, podemos expresar la rentabilidad esperada y la varianza de una cartera
de dos títulos, A y EJ, como
Rentabilidad esperada de la cartera .\')~I ,,>/"'\. +
Var(carteral c (CJ' + ') r r '0 '\ + 0
"1 \ ,,1 .••• ~ .-1" /1 ,-1 h' • /1 .,','
2. En nuestra notación, X representa la proporción de un titulo en la cartera.
Podemos trazar el conjunto eficiente de cartillas variando X liemos descrito gráficamente el
conjunto eficiente 11~\r:i el Cl:(l (k do.s ~\Lti\l)s como una CU:\~a, indicando que el grado de
curvatura inclinación que aparece en la grafica refleja el efecto de la diversificación cuanto
menor sella correlación entre los dos títulos, mayor Sl'r~l la curvatur:r S!I1l'kctlm !:l prueba,
afirmamos que la figura general del conjunto eficiente es válida para un mundo de muchos
activos.
3. Al igual que la fórmula de la varianza en el caso de los dos activos se calcula a partir de la
matriz 2 x 2, la fórmula de la varianza se calcula a partir de una matriz de N x N en el caso de
N activos. Demostramos que, con un gran número de activos, en la matriz existen muchos más
términos de la covarianza que de la varianza. De hecho, los términos de la varianza se hallan
eficientemente diversificados en una cartera numerosa, y no así los términos de la covarianza.
Por lo tanto, una cartera diversificada sólo puede eliminar parte del riesgo de los títulos
individuales, pero no todo.
47

4. Se puede combinar el conjunto eficiente de activos arriesgados, que hemos comentado, con la
solicitud y el otorgamiento de préstamos sin riesgo. En este caso, un inversionista sensato
siempre seleccionaría la cartera de títulos arriesgados que en la figura 10.9 se representa con
el punto A; entonces, podría ya fuera solicitar o bien otorgar préstamos a la tasa sin riesgo
para situarse en cualquier punto que desee sobre la línea del mercado de capitales.
5. Si (1) todos los inversionistas tienen expectativas homogéneas y (2) todos los inversionistas
pueden solicitar y otorgar préstamos a la tasa sin riesgo, todos los inversionistas
seleccionarán la cartera de títulos arriesgados que representamos con el punto A. Entonces,
solicitarán u otorgarán préstamos a la tasa sin riesgo. En un mundo de expectativas
homogéneas, el punto A representa la cartera de mercado.
6. La contribución de un título al riesgo de una cartera numerosa es la suma de las covarianzas
de la rentabilidad del título con las rentabilidades de los otros títulos de la cartera. La
contribución de un título al riesgo de la cartera de mercado es la covarianza de la rentabilidad
del título con la rentabilidad del mercado. Cuando se estandariza esta contribución se le llama
la beta. La beta de un título también se puede interpretar como la sensibilidad de la
rentabilidad del título a la del mercado.
7. El CAPM indica que
Ji = RF +~(R M - RF (
En otras palabras, la rentabilidad esperada de un título se relaciona positivamente (y
linealmente) con la beta del título.
Términos clave
Covarianza y correlación 287 Cartera 291
Conjunto (viable) de oportunidades 298 Conjunto eficiente 299
Riesgo sistemático (de mercado) 308 Riesgo diversificable (único) (no sistemático) 308
Aversión al riesgo 308
Línea del mercado de capitales 312 Principio de separación 312 Expectativas homogéneas 313
Cartera de mercado 314
Línea característica 316
Línea del mercado de títulos 3 J 8 Modelo para la valoración de los activos de capital 319
48

Los capítulos anteriores de este libro analizaron el presupuesto de capital con flujos de caja sin
riesgo. Estos flujos de caja debían descontarse a la tasa de interés sin riesgo. Puesto que la
mayoría de los proyectos de presupuesto de capital comprenden flujos arriesgados, se debe usar
una tasa de descuento diferente. Los cuatro capítulos siguientes analizan la determinación de la
tasa de descuento para los proyectos con riesgo.
La experiencia indica que el estudiante encuentra el material que se presenta a continuación entre
el más difícil de todo el libro de texto. Por lo tanto, siempre enseñamos este material presentando
primero al estudiante los resultados y conclusiones. Conociendo de antemano el resultado es más
fácil asimilar el material cuando lo presentemos. He aquí una sinopsis de los cuatro capítulos:
1. Dado que nuestro objetivo fundamental es descontar los flujos de caja con riesgo,
primero tenemos que encontrar una manera de ponderar el riesgo. En este capítulo
ponderamos la variabilidad de una acción mediante la varianza o la desviación estándar
de sus rentabilidades. Si un individuo tiene sólo un título, la varianza o la desviación
estándar del título sería la medida de riesgo apropiada.
2. Nos interesamos en la contribución de un título al riesgo de la cartera, porque los
inversionistas generalmente tienen carteras diversificadas. Puesto que en una cartera
grande y diversificada gran parte de la varianza de un título individual está dispersa, no se
pueden considerar ni la varianza de un título ni su desviación estándar como la
contribución del mismo al riesgo de la cartera. Más bien, se pondera mejor esta contribución
mediante la covarianza del título con otros títulos de la cartera. Como un ejemplo,
considere una acción cuyas rentabilidades son altas cuando las rentabilidades de la cartera
son bajas, y viceversa. Esta acción tiene una covarianza negativa con la cartera, en otras
palabras, actúa como un instrumento compensatorio, lo que implica que ésta en realidad
tiende a reducir el riesgo de la cartera. No obstante, la acción podría tener una varianza
alta, lo cual significa que tendría un riesgo alto para un inversionista que sólo tiene este
título.
3. En este capítulo hablamos de la diversificación y el concepto de beta. El capítulo siguiente
desarrolla de modo más completo el concepto de beta
Indicamos que beta es la medida adecuada de la contribución de un título al riesgo de
una cartera grande.
4. Los inversionistas sólo tendrán un título con riesgo si la rentabilidad esperada es lo
suficientemente alta para compensar su riesgo. Por lo tanto, la rentabilidad esperada de un
título se debe relacionar de manera positiva con la beta del título. En este capítulo le
49

presentamos a usted algunas de estas ideas. En el capítulo 10 desarrollamos de modo
más completo la siguiente ecuación:
5.
Rentabilidad . [Rentabilidad
Tasa sm . .
esperada de un =.
+ Beta x esperada de la - Tasa Sin nesgo
título nesgo cartera de
mercado
Puesto que el término que se encuentra entre paréntesis en la parte derecha es positivo,
esta ecuación indica que la rentabilidad esperada
de un título es una función positiva de su beta. Esta ecuación a menudo se conoce como
el modelo para la valoración de activos de capital (CAPM).
5. En el capítulo 11 derivamos de una manera diferente la relación entre el riesgo y la
rentabilidad. Sin embargo, muchas conclusiones son bastante similares. Este capítulo se
basa en la teoría de valoración por arbitraje (APT).
6. Los conceptos teóricos de los capítulos 9, 10 Y 11 son un gran desafío para el intelecto.
Por fortuna, el capítulo 12 es mucho más 'sencillo y aplica la teoría anterior a la selección
de las tasas de descuento. En un mundo en el que (a) un proyecto tiene el mismo riesgo
que la empresa y (b) la empresa no tiene deudas, la rentabilidad esperada del capital soci~
debe servir como la tasa de descuento del proyecto. Esta rentabilidad esperada se toma
del modelo para la valoración de activos de capital, como se presentó anteriormente.
Ya que nos queda un largo camino por recorrer, el refrán de que todo viaje comienza con un primer
paso resulta aquí oportuno. Empezamos con el cálculo (algo quizás mundano) de la rentabilidad de
un título.
Rentabilidades Rentabilidades en dólares
Suponga que Video Concept Company tiene varios miles de acciones en circulación y usted es un
accionista. Además, suponga que compró algunas de las acciones de capital de la compañía al
principio del año; es el final del año y usted quiere saber cómo se ha comportado su inversión, La
rentabilidad que obtiene de una inversión en acciones, así como la de las obligaciones o cualquier
otra inversión, tiene dos formas.
50

Primero, durante el año, la mayoría de las empresas pagan dividendos a los accionistas, Como
tenedor de acciones de Video Concept Company, usted es un propietario parcial de la compañía.
Si la compañía es rentable, por lo general distribuirá parte de sus beneficios a los accionistas. Por
lo tanto, como accionista, recibirá durante el año una cantidad en efectivo llamada dividendo. 1
Este efectivo se conoce como el componente del beneficio de su rentabilidad. Además de los dividendos,
la otra parte de la rentabilidad es la ganancia de capital o, si es negativa, entonces es la
pérdida de capital (ganancia de capital negativa) de la inversión.
Por ejemplo, suponga que estamos considerando los flujos de caja de la inversión que se ilustra
en la figura 9.1 y usted ha comprado 100 acciones al inicio del año a un precio de 37 dólares por
acción. Su inversión total, entonces, seria de
Co= $37 x 100 = $3,700
Suponga que durante el año se pagó un dividendo de 1.85 dólares por acción. Durante el año,
usted habría recibido un ingreso de
Div = $1.85 x 100=$185
Suponga, por último, que al final del año el precio de mercado del capital social es de 40.33
dólares por acción. Puesto que se ha incrementado el precio de las acciones, usted tiene una
ganancia de capital de
Ganancia = ($40.33 - $37) x 100 = $333
La ganancia de capital, así como el dividendo, es la parte de la rentabilidad que los accionistas
requieren para mantener su inversión en la Video Concept Company. Por supuesto, si el valor de
las acciones de Video Concept hubiera caído a, por ejemplo, 34.78 dólares, habría registrado una
pérdida de capital de
Pérdida = ($34.78 - $37) x 100 = - $222
51

La rentabilidad total de su inversión es la suma del ingreso y la ganancia o pérdida de capital de la
inversión:
Rentabilidad total =: Ingreso de dividendo + Ganancia (o pérdida) de capital
De hecho, es frecuente que las compañías sigan pagando dividendos, aun cuando hayan perdido
dinero durante el año. Estos dividendos son parte de la rentabilidad que los accionistas requieren
para no vender sus acciones de capital
(De ahora en adelante nos referiremos a las pérdidas de capital como las ganancias de capital
negativas y no estableceremos distinción entre ellas.) En nuestro primer ejemplo, entonces, la
rentabilidad total es de
Rentabilidad total = $185 + 518 $ = 333$
Nótese que si vendiera sus acciones al final del año, el importe total de su inversión sería la
inversión inicial más la rentabilidad total. En el ejemplo anterior, entonces, usted tendría
=
Inversión inicial +
Total de efectivo si se venden las acciones
3,700 $ + 4,218 $
Rentabilidad total
518 $
=
=
Como comprobación, nótese que ésta es la misma cantidad que los ingresos procedentes de la
venta de las acciones más los dividendos:
Ingresos procedentes de la venta de las acciones + Dividendos
= $40.33 x 100 + $185
= 4,033 $ + 185 $
= 4,218 $
No obstante, suponga que conserva sus acciones de Video Concept y no las vende al final del año.
¿Aún debería considerar la ganancia de capital como parte de su rentabilidad? ¿Viola esto nuestra
regla anterior del valor actual que indica que sólo el efectivo importa?
52

La respuesta a la primera pregunta es un rotundo sí y la respuesta a la segunda pregunta es un
rotundo no. Al igual que el dividendo, la ganancia de capital es en su totalidad una parte de su
rentabilidad, y ciertamente debería considerarla como una parte de su rentabilidad total. Que usted
haya decidido conservar sus acciones y no venderlas, o materializar la ganancia o la pérdida, no
cambia en forma alguna el hecho de que, si quisiera, podría recibir el valor en efectivo de las
acciones.
Rentabilidades porcentuales
Es más conveniente resumir la información acerca de las rentabilidades en términos porcentuales
que en dólar5' porque los porcentajes se aplican a cualquier cantidad invertida. La pregunta que
queremos contestar es: ¿Qué rentabilidad obtenemos de cada dólar invertido? Para responder,
supongamos que t representa el año en cuestión, PI es el precio de la acción al inicio del año, y
Div, + I es el dividendo que la acción paga durante el año. Considere los flujos de caja de la
figura 9.2.
En nuestro ejemplo, el precio al inicio del año era de 37 dólares por acción y el dividendo que se
pagaba por cada acción ascendía a 1.85 dólares. Por lo tanto, el porcentaje de la rentabilidad del
beneficio, en ocasiones conocido como la rentabilidad del dividendo, es de
Rentabilidad del dividendo = Div, + I IPI 5% =-0.05 =37$/1.85$ =
La ganancia de capital es la diferencia del precio de la acción dividido entre la inversión inicial.
Considerando que PI + I es el precio de la acción al final del año, se puede calcular la ganancia de
capital como
Ganancia de capital = (P, + 1- PI)! P, 37$/(37$ - 40.33$ ) =
37 $/3.33$ =-
:ce 0.09
9% =
Combinando estos dos resultados, encontramos que la rentabilidad total de la inversión en
acciones de Video Concept durante el año, que denominaremos como
R/+ i' fue de
Div¡+! U:+l - ~)
R,+I -=-p+ P
I I
5% =-+ 9%
= -147('
53

A partir de ahora nos referiremos a la rentabilidad en términos porcentuales:
Ejemplo
Suponga que una acción inicia el año con un precio de 25 dólares y lo termina con un precio de 35
dólares. Durante el año se pagó un dividendo de 2 dólares por acción. ¿Cuáles son la rentabilidad
del dividendo, la ganancia de capital y la rentabilidad total durante el año? Podemos considerar los
flujos de caja de la figura 9.3.
- Div J P¡ - Po
'-p+ P,
o o
12$ = 25$ - 35$ + ~ =
25 $ 25 $ 25 $
8%+ 40% 48% =
Así, la rentabilidad del dividendo, la ganancia de capital y la rentabilidad total son del 8 por ciento,
40 por ciento y 48 por ciento, respectivamente.
54

Suponga que tenía 5,000 dólares para invertir. La rentabilidad total en dólares que hubiera
obtenido de una inversión en esas acciones es de 5,000 dólares x lA&, = 7,400 dólares. Si conoce
la rentabilidad total de las acciones, no necesita saber cuántas acciones hubiera tenido que
comprar para saber cuánto dinero hubiera ganado por invertir 5,000 dólares. Sólo usa la
rentabilidad total.
4 Considere la acción del ejemplo anterior. No hemos considerado el momento del año en que
usted recibe el dividendo. ¿Hay alguna diferencia? Para analizar esta pregunta, primero suponga
que se paga el dividendo al inicio del año y lo recibe inmediatamente después de que compra la
acción. Suponga también que las tasas de interés son del 10 por ciento y que en cuanto recibe el
dividendo lo presta. ¿Cuál será su rentabilidad total, incluyendo el valor del principal del préstamo,
al final del año?
De modo alternativo, en vez de prestar el dividendo, podría haberlo reinvertido y comprar más
acciones. ¿Cuál será su rentabilidad total si hace esto con el dividendo? (Advertencia: Esto no
sucede para siempre, y cuando compra más acciones con el efectivo del dividendo de su primera
compra es ya demasiado tarde para obtener además otro dividendo de las acciones nuevas.)
Para concluir, suponga que se paga el dividendo al final del año. ¿Cuál sería su rentabilidad total?
Como podemos apreciar, al no tener en cuenta el momento en que se paga el dividendo cuando
calculamos la rentabilidad, estamos suponiendo implícitamente que éste se recibe al final del año
y que no se le puede reinvertir durante el año. La manera correcta de calcular la rentabilidad de
una acción es determinando con exactitud el momento en que se recibe el dividendo e incluyendo
55

la rentabilidad de la reinversión del dividendo en acciones. Así obtenemos una rentabilidad pura
de la acción sin equivocamos queriendo saber cuál es la tasa de interés durante el año.
Preguntas Conceptuales
¿Cuáles son las dos partes de la rentabilidad total?
¿Por qué se incluyen las ganancias o las pérdidas de capital no percibidas en el cálculo de las
rentabilidades?
¿Cuál es la diferencia entre una rentabilidad en dólares y una rentabilidad porcentual?
Rentabilidades del periodo de tenencia
Roger Ibbotson y Rex Sinquefield dirigieron una conocida serie de estudios acerca de las tasas de
rentabilidad de las acciones ordinarias, las obligaciones y las letras de cambio del Tesoro.'
Presentan las tasas de rentabilidad histórica de cada año de los cinco tipos Importantes de
instrumentos financieros estadounidenses siguientes:
1. Acciones ordinarias. La cartera de acciones ordinarias se basa en el índice compuesto de
Standard & Poor (S&P). Actualmente, el índice compuesto S&P comprende 500 de los
capitales sociales más grandes (en términos de valor de mercado) de Estados Unidos.
2. Acciones di:' hoja copitalizacion. Ésta es una cartera compuesta por los últimos cinco
capitales sociales comercializados en la New York Stock Exchange y cuyas acciones se
cotizan de acuerdo con el valor de mercado (es decir, el precio de la acción multiplicado
por el número de acciones en circulación).
3. Ohligaciol7i:'s corporativas a largo plazo. Ésta es una cartera de obligaciones
corporativas de alta calidad con un vencimiento a 20 años.
4. Obligaciones a corto plazo del gobierno estadounidense. Ésta es una cartera de
obligaciones del gobierno de Estados Unidos con un vencimiento a 20 años.
5. Letros di:' combio dd Ti:'som de Estados Unidos. Ésta es una cartera de letras de cambio
del Tesoro con un vencimiento a tres meses.
Ninguna rentabilidad presenta ajustes por impuestos o costos de transacción.
Además de las rentabilidades de cada año de los instrumentos financieros, se calcula el cambio
~1I10 tras ~1I10 del índice de precios al consumidor. Ésta es una medida básica de la inflación.
Se pueden calcular las rentabilidades reales de cada año Sustrayendo la inflación anual.
56

Antes de analizar con detenimiento las diferentes rentabilidades de la cartera, presentamos
gráficamente las rentabilidades y los riesgos disponibles en los mercados de capital
estadounidenses, en el periodo de (¡6 años de 1926 a ¡ CJ9 l. La figura 9:4 presenta el
crecimiento de 1 dólar invertido a principios de 1926. Nótese que el eJ,e vertical es logarítmico, de
manera que las distancias iguales miden el mismo número de cambios porcentuales. La figura
demuestra que si se hubiera invertido el dólar en acciones ordinarias y se hubieran reinvertido
todos los dividendos, el dólar se habría incrementado a 675.59 dólares al final de 1991. El
crecimiento más grande lo experimentó la cartera de capitales pequeños. Si se hubiera invertido 1
dólar en acciones de capitales pequeños durante el periodo de 66 años, la inversión se habría
incrementado a 1,847.63 dólares. Sin embargo, al analizar con cuidado la figura 9.4, se puede
apreciar la gran variabilidad de las rentabilidades de las acciones de capitales pequeños,
especialmente en la parte inicial del periodo. Un dólar en obligaciones gubernamentales a largo
plazo fue muy estable en comparación con 1 dólar en acciones ordinarias. Las figuras 9.5 a 9.8
ilustran la rentabilidad porcentual de cada año como una barra vertical que parte del eje horizontal
para las acciones ordinarias, las acciones de capitales pequeños, las obligaciones a largo plazo,
las letras de cambio del Tesoro y la inflación, respectivamente.
57

La figura 9.4 presenta el valor total de la inversión de 1 dólar en el mercado de valores de 1926 a
1991. En otras palabras, muestra cuál hubiera sido la rentabilidad total si se hubiera dejado 1 dólar
en el mercado de valores y cada año se hubieran reinvertido en más acciones los dividendos del
año anterior. Si R¡ es Ia rentabilidad en el año t (expresada en decimales), el total que tendría del
año 1 a año T es el producto de las rentabilidades de cada uno de los años:
(1 +R¡) x (1 +R2)·(l +R,)·(l tRr)
58

Por ejemplo, si las rentabilidades fueran del 11, - 5 Y 9 por ciento en un periodo de tres años, una
inversión de I dólar al inicio del periodo valdría
1 ) + R¡ ) x (1 + R2 ) x (1 + R3) = ($ i + 0.11) x ($1 + 0.05) x
($1 + 0.09) = $1.11 x $0.95 x $1.09
1.15 $=
al cabo de los tres años. Nótese que la rentabilidad total es de O .15 o 15 por ciento y que ésta
incluye la rentabilidad de la reinversión de los dividendos del primer año en el mercado de valores
durante dos años más y la reinversión de los dividendos del segundo año durante el último año. El
15 por ciento se conoce como la rentabilidad del periodo de tenencia de tres años. La tabla 9.1
proporciona las rentabilidades del periodo de tenencia anual de cada año de 1926 a 1991. A partir
de esta tabla se pueden determinar las rentabilidades del periodo de tenencia para cualquier
combinación de años.
59

Preguntas Conceptuales
• ¿Cuál es la rentabilidad más alta de un periodo en el historial de acciones ordinarias de 66 años
que hemos presentado y cuándo ocurrió? ¿Cuál es la rentabilidad más baja y cuándo ocurrió ?
61

• ¿Durante cuántos años la rentabilidad de las acciones ordinarias excedió el30 por ciento y
durante cuántos años fue menor del 20 por ciento?
• ¿Cuál es el periodo de tiempo más prolongado en que las acciones ordinarias no tuvieron
ningún año de pérdidas? ¿Cuál fue la sucesión más prolongada de años de pérdidas?
• Cuál es el periodo de tiempo más largo al final del cual, e invirtiendo a su inicio, no hubiera
tenido una rentabilidad positiva de su inversión en acciones ordinarias?
Estadísticas de rentabilidad
Esta historia de las rentabilidades del mercado de capitales es muy complicada para Interpretarla
en su forma no asimilada. Para hacer uso de ella, primero debemos buscar algunas maneras
prácticas de describirla, condensando en forma escenificada Yen unas cuantas frases los datos en
detalle.
Aparecen aquí dos números importantes que resumen la historia. El primer número más natural
que buscamos es alguna medida determinada que mejor describa las rentabilidades anuales
pasadas del mercado de valores. En otras palabras: ¿cuál es nuestra mejor estimación de la
rentabilidad que un inversionista podría haber obtenido en un año en particular durante el periodo
de 1926 a 1991?
Se le llama a ésta la rentabilidad promedio
La figura 9.9 presenta el diagrama histórico de las rentabilidades anuales del l11ercado de valores
de la tabla 9.1. Este diagrama ilustra la distribución de frec~encia de los números. La altura del
diagrama proporciona el número de observaCIones de la muestra en la extensión del eje
horizontal.
62

Podemos calcular el promedio o media de la distribución con una distribución de frecuencia como
la de la figura 9.9. Para calcular el promedio aritmético de la distribución, sumamos todos los
valores y dividimos la suma entre el número total (7') (66 en este caso porque tenemos 66 años de
datos). La barra que se encuentra sobre la R se usa para representar el punto medio y la fórmula
es la fórmula común del promedio:
. -- (R + ... + R . )
Media = Roo I 7
T
El promedio aritmético de las 66 rentabilidades anuales de 1926 a 1991 es del 12.4 por ciento.
64

Ejemplo
Las rentabilidades de las acciones ordinarias de 1926 a 1929 son de 0.1162, 0.3749 0.4361 Y -
0.0840 respectivamente. (Estos números se tomaron de la tabla 9.l.)L~ rentabilidad promedio o
media durante estos cuatro años es de
R = 0.1162+0.3749+0.4361-0.0840 =0.2108
Rentabilidades promedio de los valores y rentabilidades sin riesgo
Ahora que hemos calculado la rentabilidad promedio del mercado de valores, parece lógico
compararla con las rentabilidades de otros títulos. La comparación nl~ obvia es con las
rentabilidades de baja variabilidad del mercado de obligaciones gubernamentales. Éstas no
presentan casi en absoluto la volatilidad que apreciamos en el mercado de valores.
El gobierno recibe dinero en préstamo emitiendo obligaciones que adquiere el público
inversionista. Como hemos estudiado en un capítulo anterior, estas obligaciones tienen muchas
formas y las que analizaremos aquí son las llamadas letras de cambio del Tesoro de Estados
Unidos o T-bill. Una vez a la semana, el gobierno vende algunas letras de cambio en una subasta.
Una letra de cambio típica es una obligación de descuento puro con vencimiento a un año o
menos. Puesto que e! gobierno puede incrementar los impuestos para pagar la deuda que contrae
(un truco que muchos de nosotros querríamos poder hacer), esta deuda virtualmente no presenta
65

iesgo de incumplimiento. Por lo tanto, llamaremos a ésta la rentabilidad sin riesgo durante un
plazo corto (un año o menos).
Entonces, una comparación importante surge entre la rentabilidad virtualmente sin riesgo de las T-
bill y las rentabilidades muy arriesgadas de las acciones ordinarias. Esta diferencia entre las
rentabilidades con riesgo y las rentabilidades sin riesgo suele denominarse rentabilidad excedente
del activo arriesgado. Se le da el nombre de excedente porque es la rentabilidad adicional
resultante del riesgo de laS acciones ordinarias y se le interpreta como una prima de riesgo.
La tabla 9.2 presenta la rentabilidad promedio de las acciones, la rentab~i' dad de las
obligaciones, la rentabilidad de las T-bill y la tasa de inflación pata~I periodo de 1926 a 1991. A
partir de esta tabla podemos derivar las rentabilidades excedentes. Podemos ver que la
rentabilidad excedente promedio para el periodo entero fue del 8.5 por ciento (12.4% - 3.9%). .:''
Una de las observaciones más importantes de los datos del mercado de valores es este
excedente a largo plazo de la rentabilidad de las acciones en comparación con la rentabilidad sin
riesgo. Por su inversión en el mercado de valores, una persona que invertía durante este periodo
recibía como compensación una rentabilidad excedente o adicional comparada con la rentabilidad
que hubiera obtenido invirtiendo simplemente en T-bill.
¿Por qué se obtenía dicha compensación? ¿Significa que nunca vale la pena invertir en T-bill y que
alguien que ha invertido en estos instrumentos en vez de hacerlo en el mercado de valores
necesita un curso de finanzas? Una respuesta completa radica en la esencia de las finanzas
modernas, y el capítulo 10 trata enteramente sobre esto.
Sin embargo, se puede obtener parte de la respuesta analizando con mayor detenimiento la tabla
9.2. Vemos que la desviación estándar de las I-bill es sustancialmente menor que la de las
acciones ordinarias. Esto sugiere que el riesgo de las T-bill es menor que el de las acciones
ordinarias. Ya que la respuesta comprende el riesgo de las inversiones en acciones ordinarias,
ahora nos concentramos en la medida de este riesgo.
66

Preguntas Conceptuales
• ¿Cuál es la observación principal acerca de los mercados de capitales que trata: remos de
explicar?
• ¿Qué nos indica la observación sobre las personas que invirtieron en el periodo de 1926 a
1991?
67

Estadísticas de riesgo
El segundo número que usamos para caracterizar la distribución de la rentabilidad es una medida
del riesgo de la rentabilidad. No existe una definición de riesgo aceptada universalmente. Una
manera de considerar el riesgo de la rentabilidades las acciones ordinarias es en términos de la
dispersión de la distribución de frecuencia de la figura 9.9. 7 La dispersión de la distribución es una
medida de cuanto puede desviar una rentabilidad determinada de la rentabilidad media. Si la
distribución está muy dispersa, las rentabilidades que ocurrirán serán muy inciertas. Por el
contrario, una distribución cuyas rentabilidades varían por algunos puntos porcentuales entre sí es
más ajustada y las rentabilidades son menos inciertas. Las medidas de riesgo que analizaremos
son la varianza y la desviación estándar.
Varianza
La varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar, son las medidas de variabilidad o
dispersión más comunes. Usaremos las notaciones Var y 0'2 para referirnos a la varianza y SD y
O' para representar la desviación estándar.
Ejemplo
Las rentabilidades de las acciones ordinarias de 1926 a 1929 (en decimales) son
0.1162,0.3749,0.4361 Y -0.0840, respectivamente. La varianza de este ejemplo se calcula así
Var= T~1 (R,-R)2 +(R2 -Rf +(R3 -R)2 +(R4 -Rf 0.0578=Y;[(.l162-.2108)2 +(.3749-
.2108]2 +
[ 2(08 21. - 0840.-) + 2(2108. -4361.)
SD = ./0578 = .2405 (i. e., 24.05%) •
La fórmula nos indica lo que debemos hacer: tomar las rentabilidades individuales T (R¡, R2, oo.)
y sustraer la rentabilidad promedio, (R) elevar el resultado al cuadrado y sumarlas. Finalmente,
debemos dividir este total entre el número de rentabilidades menos uno (T -1). La desviación
estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Usando las verdaderas rentabilidades de las acciones de la tabla 9.1 para el periodo de 66 años
de 1926 a 1991 en la fórmula anterior el resultado de la desviación estándar de la rentabilidad de
las acciones es del 20.8 por ciento. La desviación estándar es la medida estadística estándar de
la dispersión de una muestra y será la medida que usaremos la mayor parte del tiempo.
Facilitamos su interpretación mediante un análisis de la distribución normal.
68

Distribución normal y sus implicaciones para la desviación estándar
La representación de una muestra lo suficientemente grande de una distribución normal se ve
como la curva en forma de campana que aparece en la figura 9.10. Como puede verse, esta
distribución es simétrica, en relación a su media, no asimétrica, y tiene una forma mucho más
nítida que la distribución real de las rentabilidades anuales que presentamos en la figura 9.9.' Es
evidente que si hubiéramos podido observar las rentabilidades del mercado de valores durante
1,000 años, podríamos haber evitado muchas de la altas y bajas de la figura 9.9 Y habríamos
tenido una curva más suave.
La distribución normal desempeña una función central en las estadísticas clásicas tradicionales y la
desviación estándar es la manera usual de representar la dispersión de una distribución normal.
Para la distribución normal, la probabilidad de tener una rentabilidad mayor o menor que al
promedio por una determinada cantidad depende sólo de la desviación estándar. Por ejemplo, la
probabilidad de tener una rentabilidad que se encuentre dentro de una desviación estándar de la
media de la distribución es aproximadamente de 0.68 o y la probabilidad de tener una rentabilidad
que se encuentre dentro de dos desviaciones estándar de la media es de alrededor de 0.95.
Ahora podemos interpretar la desviación estándar de 20.8 por ciento que encontramos para las
rentabilidades de las acciones de 192() a 1991 de la siguiente manera: si las rentabilidades de las
acciones difícilmente están distribuidas en forma normal, la probabilidad de que una rentabilidad
anual esté comprendida en el 20.8 por ciento de la media de 12.4 por ciento será de alrededor de
Es decir, aproximadamente' de las rentabilidades anuales serán de entre el-8.4 y el t )3.2 por
ciento. Nótese que-~4(j 12.4(,( -20WIr, y que)).2 f j 124 f ir +20X f ‏(.‏rם La probabilidad de que la
rentabilidad de cualquier arlo se encuentre dentro de dos desviaciones estándar es de alrededor
de 0.9) es decir, cerca del 95 por ciento de las rentabilidades anuales serán de entre-29.2 por
ciento y )4 por ciento.
La distribución que aparece en la figura 9.1 O es una distribución teórica, que en ocasiones se
conoce como !}()!Jlac/I)1l. No es seguro que la distribución real de las obsevaciones de una
muestra determinada produzcan un historial que se ve exactamente como la distribución teórica Al
observar la figura 99, podemos apreciar cuán desordenada es la función de la frecuencia real de
las observaciones históricas. No obstante, si dehlél:11110S continuar generando observaciones
durante un periodo de tiempo lo suliclentemcl1te prolongado, desaparecerían las irregularidades
69

En el caso de una distribución normal, existe un 68.26 por ciento de probabilidades de que una
rentabilidad se encuentre dentro de una desviación estándar del promedio. En este ejemplo,
existe una probabilidad del 68.26 por ciento de que una rentabilidad anual se halle entre el-8.4 y
el 33.2 por ciento.
Existe una probabilidad de19S.44 por ciento de que una rentabilidad se encuentre dentro de dos
desviaciones estándar del promedio. En este ejemplo, existe una probabilidad de 195.44 por
ciento de que una rentabilidad anual se halle entre el-29.2 y el 54 por ciento.
Finalmente, existe una probabilidad dc199. 74 por ciento de que una rentabilidad se encuentre
dentro de tres desviaciones estándar del promedio. En este ejemplo, existe una probabilidad del
99. 74 por ciento de que una rentabilidad anual se halle entre el 50.0 y el 74.8 por ciento del
modelo y la distribución histórica real empezaría a parecerse a la distribución teórica fundamental.
Esto pone de relieve que en cualquier muestra individual existen errores de muestreo. En otras
palabras, la distribución de la muestra sólo se aproxima a la distribución verdadera; siempre
medimos la verdad con cierto error. Por ejemplo, no sabemos cuál fue la rentabilidad esperada de
las acciones ordinarias en el periodo de 66 años; sin embargo, estamos seguros de que el 12.4 por
ciento se aproxima bastante a dicha rentabilidad esperada.
Preguntas Conceptuales
• ¿Cuál es la definición de las estimaciones de la muestra de la varianza Y la desviación
estándar?
• ¿Cómo nos ayuda la distribución normal a interpretar la desviación estándar?
70

La tasa de descuento para los proyectos con riesgo
Ahora podemos considerar la tasa de descuento para los proyectos arriesgados.
El caso en que el riesgo es igual al del mercado
Permítanos suponer que existe una inversión no financiera que tiene el mismo riesgo que el índice
compuesto S&P. A menudo llamaremos al índice compuesto S&P la cartera de activos
arriesgados" ¿Qué rentabilidad deberíamos requerir de dicha inversión. Debemos usar la
rentabilidad esperada actual de la cartera de mercado como nuestra tasa de descuento, porque
ésta es la rentabilidad que sacrificaríamos si llevamos a cabo el proyecto propuesto en vez de
invertir en el S&P. Los economistas financieros a menudo consideran la rentabilidad esperada de
la cartera de mercado como
Rentabilidad esperada
de la cartera de =
mercado
Tasa sin riesgo
+
Prima de
riesgo
esperada
Aquí se expresa la rentabilidad esperada de mercado como la suma de la tasa sin riesgo más la
prima de riesgo esperada. La prima de riesgo esperada simplemente es la compensación por el
riesgo que corren los inversionistas de la cartera de mercado.
Ya que la rentabilidad esperada de la cartera de mercado consta de dos partes, permítanos
intentar calcular ambas. Es fácil estimar la tasa sin riesgo. Si The Wall Street Journa/ (WSJ) nos
dice que la tasa actual para las letras de cambio del Tesoro a un año es del 7 por ciento, es
bastante razonable determinar que la tasa sin riesgo es del 7 por ciento. Es mucho más difícil
estimar la prima de riesgo esperada, porque es obvio que las rentabilidades o primas esperadas
no aparecen en el WSJ. Los métodos alternativos como efectuar una encuesta a profesores de
finanzas (o a estudiantes, en este caso) quizá tendría resultados absurdos.
En vez de ello, obtenemos nuestra estimación de la prima de riesgo del pasado.
La tabla 9.2 nos señala que la rentabilidad promedio de las acciones ordinarias de 1926 a 1991 fue
de 12.4 por ciento, y que la rentabilidad promedio de las letras de cambio del Tesoro de Estados
Unidos durante el mismo periodo fue de 3.9 por ciento. La prima de riesgo histórica es del 8.5 por
ciento (12.4% - 3.9%). Los economistas financieros sostienen que la prima de riesgo histórica es el
mejor medio de predicción de la prima de riesgo esperada en el futuro. 10 Así, considerando la
tasa del 7 por ciento de la T-bill, podrían calcular la rentabilidad esperada del mercado como
71

Rentabilidad
Tasa sin riesgo actual
=
esperada= del
mercado
15.5%
+ 7%
Prima de riesgo histórica
+
8.5%
Por lo tanto, la tasa de descuento para la inversión no financiera arriesgada es del 15.5 por ciento.
El caso en que el riesgo es diferente al del mercado
El estudio anterior trató sobre un proyecto con riesgo igual al del mercado. ¿Cómo se determina la
tasa de descuento de un proyecto que difiere de la tasa de descuento del mercado? La figura 9.11
presenta una relación posible, donde la tasa de descuento se relaciona positivamente con el riesgo
del proyecto. Esto es razonable porque en capítulos anteriores indicábamos que tanto los
individuos como las empresas demandan una alta rentabilidad esperada de un proyecto con un
riesgo alto.
En su forma actual, esta gráfica es de cierta utilidad; un gerente podría usarla con facilidad de una
maneraad hoc. El gerente decidiría si un proyecto tiene más o menos riesgo que el mercado. Si el
gerente juzgara que el riesgo del proyecto es alto, escogería una tasa de descuento mayor que la
rentabilidad esperada del mero cado. En cambio, si el gerente juzgara que el riesgo del proyecto
es bajo, escogería una tasa de descuento menor que la del mercado como un todo. Usamos el
término ad hoc porque necesitamos responder una pregunta antes de aplicar la gráfica de manera
precisa. La pregunta es: ¿cuál es la medida de riesgo adecuada?
Tal vez le sorprenda la pregunta porque podría parecer que la desviación estándar de la
rentabilidad del proyecto es la opción obvia de la medida de riesgo del proyecto. No obstante, los
economistas están en desacuerdo; señalan que a un inversionista diversificado no le inquieta el
riesgo de ningún activo individual. Más bien, al inversionista le interesa el efecto del activo sobre
el riesgo de la cartera completa.
Ejemplo
Diversified Industries está considerando una inversión ya sea en un proyecto dé extracción de
oro o en una franquicia de una empresa generadora de energía. En una junta del consejo de
administración, la señorita Katherine Russell sostiene que los flujos de caja de una operación de
extracción de oro son intrínsecamente bastante variables. Por lo tanto, se debería aplicar una
72

tasa de descuento mayor a estos flujos de caja. Una tasa de descuento menor es apropiada
porque una planta generadora de energía típica es menos volátil.
Otro director, el señor Zelig Breakstone, no está de acuerdo. Señala que la empresa en sí está
diversificada y la mayoría de los accionistas son diversificados. Sostiene que los precios del oro,
por lo general, se incrementan en las épocas inflacionarias, precisamente cuando los precios de
las acciones tienden a caer. Así, indica que un proyecto de extracción de oro es una cobertura
contra los otros activos de la empresa y las demás inversiones de los accionistas. Cuando el resto
de la economía presenta un buen comportamiento, el oro tiende a caer y viceversa. Por el
contrario, las inversiones en generadoras de energía se comportan bien cuando otros activos se
comportan bien, y tienen un comportamiento deficiente cuando otros activos tienen un
comportamiento deficiente. La franquicia de la planta generadora de energía se integra al riesgo
de una cartera grande. Por lo tanto, el señor Breakstone quiere que se aplique una tasa de
descuento más alta a la franquicia de la planta generadora de energía.
La teoría moderna de la cartera concuerda con el señor Breakstone. Según los economistas
financieros, se debe considerar cualquier activo como parte de una cartera. El riesgo del activo es
la contribución a la variabilidad de la cartera. Ya que la desviación estándar y la varianza utilizan
un activo de manera individual, debemos pasamos a las medidas estadísticas que relacionan los
activos entre sí. Ahora analizamos la beta y la diversificación, pilares de la teoría moderna de la
cartera.
73

Pregunta Conceptual
• ¿Cómo pueden los gerentes financieros utilizar la historia de los mercados de capital para
estimar la tasa de rentabilidad requerida de las inversiones no financieras con el mismo riesgo
que las acciones ordinarias promedio?
Riesgo y beta
Diversificación
Este capítulo ha analizado a fondo el riesgo y la rentabilidad históricos de las carteras altamente
diversificadas que el índice compuesto S&P representa. Hemos visto que la desviación estándar
histórica del índice compuesto S&P es del 20.8 por ciento. Sin embargo, las desviaciones estándar
históricas de las acciones ordinarias individuales son de bastante más de120.8 por ciento. De
hecho, la desviación estándar histórica de las acciones ordinarias individuales es de aproximadamente
el 50 por ciento.
La tabla 9.3 presenta los cálculos de las desviaciones estándar de varios capitales ordinarios bien
conocidos. Cada uno de estos capitales tiene una desviación estándar que es bastante mayor que
las del índice compuesto S&P.
La diferencia entre la desviación estándar de una acción individual v la desviación estándar de una
cartera o un índice es consecuencia del" conocido fenómeno de la diversificación: Con la
diversificación, se pueden combinar las acciones individuales arriesgadas de modo tal que una
combinación de títulos individuales (es decir, una cartera) casi siempre sea menos arriesgada que
cualquier titulo individual. Es posible eliminar el riesgo porque las rentabilidades de los
Acciones
Desviación estándar
Allis Chalmers 55
Chrysler 47
Cray Research 45
Homestake Mining 42
Mattel 62
Merrill Lynch 49
Apple 38
Índice compuesto S&P 21
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Desviación estándar
promedio de todas
las acciones individuales 50
Beta
El modelo para la valoración de activos de capital (CAPM) demuestra que riesgo de un título
individual está bien representado por su coeficiente.
La beta nos indica en términos estadísticos la tendencia de una acción individual a covariar con el
mercado (p. ej., el índice compuesto S&P). Una acción con una beta de 1 tiende a subir y bajar en
el mismo porcentaje que el mercado. Las acciones con una beta menor de 1 tienden a tener un
menor movimiento que el mercado en términos porcentuales. De modo similar, una acción con una
beta mayor de 1 tiende a fluctuar más que el mercado. La tabla 9.4 presenta algunos cálculos
recientes de la beta de acciones ordinarias conocidas.
La rentabilidad esperada de un título se relaciona positivamente con el riesgo del título, porque los
inversionistas sólo correrán un riesgo adicional si reciben una compensación adicional. El CAPM
implica que la beta, no la desviación estándar, es la medida de riesgo adecuada. Este
razonamiento nos permite calcular la rentabilidad esperada de un título individual como se indica a
continuación:
Rentabilidad esperada de = un título individual
Tasa sin +
riesgo actual
Beta de un título
x
Prima de riesgo de mercado
histórico
Ejemplo
Suponga que la tasa sin riesgo actual es del 7 por ciento y la prima de riesgo de mercado histórica
es del 8.5 por ciento. ¿Cuál es la rentabilidad esperada de Campbell Soup Company, si su beta es
de 0.8? Usando el CAPM, encontramos que la rentabilidad esperada de Campbell Soup Company
es
= 7% + (0.8 x 8.5%)
= 13.8% •
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Para el estudiante que debe saber más sobre el riesgo y la rentabilidad esperada, en el capítulo
10 no entenderemos mucho más sobre el CAPM y la beta.
Resumen y conclusiones
Las medidas estadísticas de este capítulo son fundamentales para el material de los tres
capítulos siguientes.
1. La desviación estándar y la varianza ponderan la variabilidad de la rentabilidad de un título
individual. Señalaremos que la desviación estándar y la varianza son medidas adecuadas del
riesgo de un título individual si la . cartera de un inversionista consta sólo de ese título.
2. La mayoría de los inversionistas tiene carteras y, como consecuencia, la varianza (o la
desviación estándar) no es una buena medida del riesgo de una acción individual. La beta
es una medida mejor.
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Términos clave
Ganancia de capital 257 Rentabilidad del periodo de tenencia 261
Distribución de frecuencia 263 Promedio (media) 265
Prima de riesgo 266
Varianza 268 Desviación estándar 268 Distribución normal 269 Diversificación 274
Beta 274
Lecturas recomendadas
Se puede encontrar un registro importante del comportamiento de los instrumentos financieros
en los mercados de capitales de Estados Unidos en:
Ibbotson, Roger G. y Rex A. Sinquefield, Stocks, Bonds, Bilis, and Inflation: 1992 Yearbook
TM, Chicago, Ibbotson Associates.
Los problemas del uso de los datos de muestreo para calcular las rentabilidades esperadas
se describen en:
Blume, M. "Unbiased Estimates of Long Run Expected Rates of Retums", Journal 01
the American Statistical Association, septiembre de 1974.
Merton, R.e. "On Estimating the Expected Retum on the Market: An Exploratory Investigation",
Journal 01 Financial Economics, 8, diciembre de 1980.
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