LE LIVRE du PROBLEME - IREM de Strasbourg

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SOMMAIRE 64 Exemple 2 Considérons, sur un ensemble à trois éléments {a, b, c} , la relation dont le schéma sagittal est: Ce n'est pas une relation d'ordre (pourquoi ? ), mais sa restriction à chacun des sous-ensembles à deux éléments est une relation d'ordre. Cette remarque "abstraite" tout à fait banale se retrouve dans divers contextes pratiques. (1. a) Dans le jeu enfantin "Pierre, Ciseaux, Papier", elle s'exprime par : la pierre repasse les ciseaux; les ciseaux coupent le papier; le papier enveloppe la pierre. (1. b) Mais le défaut de transitivité se manifeste dans des situations électorales, lors d'un suffrage à la majorité absolue où il s'agit de départager trois candidats ou trois options. Ce paradoxe de Condorcet est illustré par l'exercice suivant emprunté au "Nouvel Observateur" du 10 avril 1972 (Cf. [37], Christian Corne et Georges Glaeser). PROBLÈME DU RÉFÉRENDUM On demande aux Français par voie de celui d'assemblée. référendum: 6 préfèrent le parlementaire, accepte- "Voulez-vous un régime présidentiel, un raient celui d'assemblée mais refusent régime parlementaire ou un régime le présidentiel. d'assemblée ? 5 préfèrent celui d'assemblée, accepte Or, parmi les 20 millions d'électeurs : raient le présidentiel mais refusent le 9 préfèrent le présidentiel, accepte- parlementaire. raient le parlementaire mais refusent A. - Que va-t-il se passer ?
SOMMAIRE 65 Un peu plus tard, un homme politique Plus tard encore, un autre homme poliinfluent parvient à faire poser dans un tique de poids, fait organiser un troisiè nouveau référendum la question sui- me référendum sur le thème: vante: "Le peuple français préfère-t-il le régi- "Le peuple français est-il d'accord pour me parlementaire au régime d'assemsubstituer le régime d'assemblée au régi- blée ? " me présidentiel actuellement en vi- C. - Quelle sera la réponse à cette nougueux ? " velle question ? B. - Quelle sera la réponse à la ques- On suppose qu'il n'y a pas d'absten tion ? tions. (1. c) Dans un certain jeu de dés, on lance des cubes parfaitement équilibrés dont les faces portent chacune un nombre entier: le même nombre peut figurer sur deux faces d'un même cube, mais - pour éviter les ex-acquo - deux dés différents ne portent pas un même nombre. Le gagnant est celui qui tire le nombre le plus élevé lors d'un seul jet. On dira que le dé A est "meilleur" que le dé B si la probabilité de gagner avec A contre B est supérieure à 1/2. On demande d'imaginer trois dés non-transitifs A, B, C, c'est-à-dire tels que A soit "meilleur" que B, B "meilleur" que C mais C "meilleur" que A. (1. d) Des situations analogues interviennent dans les tournois et dans les systèmes de notations scolaires, et seront évoquées au chapitre 7. Les applications des mathématiques peuvent être empruntées à la vie courante, à des techniques professionnelles, aux centres d'intérêts favoris des élèves (par exemple des jeux), aux autres sciences (physiques, naturelles, humaines) ou même à d'autres branches des mathématiques. Par exemple on utilise les nombres complexes pour résoudre des problèmes de géométrie, le calcul des probabilités dans des questions d'analyse, l'analyse en théorie des nombres. Enfin, il arrive qu'un transfert dans un contexte pratique puisse permettre de résoudre un problème de mathématique pure [39]. D - Les questions pratiques jouent un rôle de stimulant vis-à-vis des élèves qui n'ont pas de goût spécial pour la mathématique en elle-même, et qui seront curieux d'apprendre comment cette science se rattache à d'autres centres d'intérêts. En d'autres termes, les applications constituent une propagande en faveur des mathématiques
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