LE LIVRE du PROBLEME - IREM de Strasbourg

SOMMAIRE 78
Il y a de grands avantages à éviter, à ce niveau, les mots "droites",
"parallèles", "plan" qui sont chargés d'une 'signification profondément
ancrée dans l'esprit des élèves. On évite le conflit entre le déductif et
l'expérimental, qui constitue la principale difficulté à l'enseignement de la
démonstration mathématique.
Pourtant, l'habillage précédent n'est pas encore satisfaisant. Par
exemple, on constate sur la figure que les "routes" qui joignent les villes
{C, D, F} et {G, E, C} se croisent en dehors d'une ville. On peut remédier à
cela en remplaçant partout le mot "route" par "autoroute" et en
expliquant que certaines intersections qui figurent sur la carte ne sont pas
des croisements, puisqu'un pont ou un passage souterrain les évitent. Mais
néanmoins le tracé des autoroutes est trop matérialisé pour que les enfants
soient capables de faire abstraction de la forme. Par exemple, sur la figure,
la ville D est dessinée "entre" C et F. C'est là une notion dont la géométrie
d'incidence veut faire abstraction (jusqu'à ce que d'autres axiomes soient
introduits).
En cherchant à imaginer une habillage qui facilite ces abstractions aux
enfants on a suggéré d'évoquer un lac, comportant certains embarcadères
{A, B, C, D, ..., G} sur les berges, ou dans les îles, et de considérer
des "croisières" desservant certains embarcadères.
Ici, l'itinéraire d'une croisière n'est plus matérialisé sur l'eau; et on peut
expliquer que le capitaine de la vedette qui dessert les embarcadères
{C, D, F} se réserve le droit de modifier son chemin, suivant les
conditions météorologiques. En particulier, il ne se sent pas obligé de visiter
ses escales dans un ordre immuable.
On peut demander aux écoliers de dessiner un autre schéma, très
différent en apparence du dessin précédent, mais respectant néanmoins
toutes ses relations ensemblistes. En d'autres termes, on demande de
manipuler sur des isomorphismes de structures d'incidence. Tout cela peut
être accompli, à condition de ne pas utiliser (ou abuser) du langage
ensembliste. Évidemment, il faut une expérimentation prudente pour
adapter chaque exercice à l'âge des élèves auxquels on s'adresse. Mais la
géométrie finie peut être présentée d'une façon progressive du Cours Moyen
à l'Université.
Pour terminer, citons des exemples où la mathématique sert d'habillage
à des exercices de grammaire.