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Annexe C tel-00821997, version 1 - 13 May 2013 Expressions mathématiques pour le modèle de transmission Les méthodes de calcul des variables du modèle de canal de transmission sont données ici. Ces dernières se fondent essentiellement sur des propriétés géométriques. C.1 Suivi de la position des antennes Les expressions sont ici déterminées pour A (le centre de mesure ou de simulation de l’antenne d’émission) et s’obtiennent de la même manière pour B. Les coordonnées de A sont obtenues par le vecteur −→ OA, tel que : −→ OA = −−→ OO A + −→ OA (C.1) Dans cette expression, O représente le centre de la Terre et O A représente le centre de gravité, assimilé au centre de flottaison de la plateforme hébergeant l’émetteur. Lorsque la plateforme est située au pôle (distance 0) : ⎛ −−→ ⎜ OO A = ⎝ 0 0 R e + p(t) ⎞ ⎟ ⎠ (C.2) R e et p(t) représentent respectivement le rayon effectif terrestre et la hauteur de O A par rapport au niveau de la mer due au pilonnement. Le second vecteur de l’expression C.1 décrit les coordonnées du centre de l’antenne d’émission sur la plateforme. Soit : ⎛ ⎞ a −−→ ⎜ ⎟ O A A = ⎝b⎠ (C.3) c 159 local
ANNEXE C. EXPRESSIONS MATHÉMATIQUES POUR LE MODÈLE DE TRANSMISSION tel-00821997, version 1 - 13 May 2013 La position géographique du centre de gravité est décrite par une rotation d’angle α autour de l’axe Y ⃗ suivie d’une rotation d’angle β autour de l’axe Z. ⃗ Ainsi : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 (R −−→ e + p(t)) sin α cos β ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ OO A = M β M α ⎝ 0 ⎠ = ⎝(R e + p(t)) sin α sin β⎠ (C.4) R e + p(t) (R e + p(t)) cos α M α et M β sont deux matrices de rotation telles que : ⎛ ⎞ cos α 0 sin α ⎜ ⎟ M α = ⎝ 0 1 0 ⎠ − sin α 0 cos α ⎛ ⎞ cos β − sin β 0 ⎜ ⎟ M β = ⎝sin β cos β 0⎠ 0 0 1 global (C.5) (C.6) Le vecteur décrivant la position des antennes est en premier lieu affecté par les rotations associées aux variations de cap (M γ – lacet), d’assiette (M τ – tangage) et de gîte (M̺ – roulis) appliquées dans cet ordre 1 . Afin de conserver la même orientation des axes attachés aux plateformes lorsque β varie, −−→ O A A subit également une rotation de α par rapport à l’axe Y ⃗ ayant tourné de β. Soit : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a a −−→ O A A = M β ⎜ ⎟ αM γ M τ M̺ ⎝b⎠ = M β ⎜ ⎟ αM γτ̺ ⎝b⎠ (C.7) c c Avec : local ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ M̺ = ⎝0 cos ̺(t) − sin ̺(t) ⎠ 0 sin ̺(t) cos ̺(t) ⎛ ⎞ cos τ(t) 0 sin τ(t) ⎜ ⎟ M τ = ⎝ 0 1 0 ⎠ − sin τ(t) 0 cos τ(t) ⎛ ⎞ cos γ(t) − sin γ(t) 0 ⎜ ⎟ M γ = ⎝sin γ(t) cos γ(t) 0⎠ 0 0 1 Et : ⎛ ⎞ ⎛ 1 0 0 sin 2 ⎞ β − cos β sin β 0 M β ⎜ ⎟ ⎜ α = cos α ⎝0 1 0⎠ + (1 − cos α) ⎝− cos β sin β cos 2 ⎟ β 0⎠ 0 0 1 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 0 cos β ⎜ ⎟ + sin α ⎝ 0 0 sin β⎠ − cos β − sin β 0 local (C.8) (C.9) (C.10) (C.11) 1. Les matrices de rotation n’étant pas commutatives, un ordonnancement différent ne produit pas le même résultat. 160
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N° d’ordre : 2013telb0261 Sous l
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Remerciements Je tiens en premier l
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Liste des tableaux tel-00821997, ve
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CHAPITRE 1. TRANSMETTRE DE LA VIDÉ
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