COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

10 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESX ∼ B(n, p) avec p = N 1NPropriétéCalcul en chaine des probalités de la loi binomiale.Si X ∼ B(n, p) alors(n − k + 1)pP (X = k) = P (X = k − 1)k(1 − p)P (X = k)Preuve :P (X = k − 1) = n − k + 1 pk 1 − p1.4 Schéma hypergéométriqueExemple : En pratique lorsque l’on tire un échantillon de taille n parmi unepopulation de taille N, le bon sens veut que l’on ne prenne pas 2 fois lemême individu. Cela signifie que le tirage se fait sans remise. Les v.a deBernoulli associées aux différents éléments de l’échantillon et indicatrices dela présence ou absence d’un caractère donné, sont alors dépendantes. Leschéma binomiale n’est plus adapté.Le schéma hypergéométrique est une succession d’épreuves de Bernoulli nonindépendantes.DéfinitionSi dans une population de taille N,on a 2 types de populationsN 1 individus type 1 en proportion p = N 1N etN 2 individus type 2 : N 2On fait n tirages sans remise dans la population et la v.aX = nb individus de type 1 dans l’échantillonX obéit au schéma hypergéométrique H(N, n, p)X = ∑ iX i , avec X i des v.a de Bernoulli non indépendantes.Loi de probabilité