COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

16 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESRmq : plus p est petit, meilleure est l’approximation.la loi de Poisson a été appelée loi des phénomènes rares.Pour cette raisonLes processus de Poisson sont fréquents dans les problèmes de gestion :- nb de pièces défectueuses dans un échantillon de grande taille prélevé dansune production où la proportion des défectueuses est faible.- nb de quadruplés, quintuplés par an dans un pays donné.- nb d’appels intercontinentaux sur une ligne pendant une durée donnée.- nb d’erreurs commises au cours d’une longue suite d’opérations (inventaire).- pannes de machine.- émission de particules radio-actives.caractéristiques Si X ∼ P(m),alors E(X) = mV (X) = mIl faut savoir que ∑ k≥0E(X)V (X)= ∑ k≥0= ∑ k≥0= m 2 ∑ k≥2= mm kk!= e mk mkk! e−m = e −m m ∑ k≥1m k−1(k − 1)! = mk 2 mkk! e−m − m 2 = ∑ k(k − 1) mkk! e−m + ∑K≥1k≥1m k−2(k − 2)! e−m + m ∑ k≥1m k−1(k − 1)! e−m − m 2k mkk! e−m − m 2Propriété : somme de v.a de PoissonSi X 1 et X 2 sont 2 variables de Poisson P(m 1 ), P(m 2 ) indépendantes alorsX 1 + X 2 ∼ P(m 1 + m 2 )(ceci est vrai pour une somme finie quelconque de v.a de Poisson indépendantes)Preuve :