COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

30CHAPTER 3.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUESlimx→+∞y→+∞F X,Y (x, y) = 1lim F X,Y (x, y) = 0y→−∞lim F X,Y (x, y) = 0x→−∞PropriétésSi F X est la fonction de répartition de X etF Y la fonction de répartition de Y ,F X (x) = lim F X,Y (x, y)y→+∞F Y (y) = lim F X,Y (x, y)x→+∞Dans le cas d’une variable continue, on pouvait calculer la probabilité desévénements {a < X ≤ b} avec la fonction de répartition : P (a < X ≤ b) =F (b) − F (a).Est-ce le cas ici ?Question : que vaut P [a < X ≤ b, c < Y ≤ d] ?F X,Y (b, d) = P [] − ∞, b]∩] − ∞, d]]= P ((] − ∞, a]∪]a, b]∩] − ∞, d]))= P (] − ∞, a]∩] − ∞, d]) + P (]a, b]∩] − ∞, d])= F (a, d) + P (]a, b]∩] − ∞, c]) + P (]a, b]∩]c, d])or F (b, c) = P (] − ∞, b]∩] − ∞, c]) = P (] − ∞, a]∩] − ∞, c]) + P (]a, b]∩] −∞, c])d’où P (]a, b]∩] − ∞, c]) = F (b, c) − F (a, c)AinsiP (a < X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = F (b, d) − F (b, c) + F (a, c) − F (a, d).Mais c’est une formule difficile à retrouver.C’est pourquoi on préfèrera passer par la fonction densité conjointe pourcalculer les probabilités.3.2 Fonction densité conjointeFonctions densité marginalesDéfinition