COURS DE PROBABILITE 2i`eme annÃ©e d'Ã©conomie et de gestion ...

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52CHAPTER 5. CONDITION D’APPLICATION DE LA LOI NORMALEP (35 ≤ X ≤ 50) ≈ P (35 − 1/2 ≤ Y ≤ 50 + 1/2)= P (34, 5 ≤ Y ≤ 50, 5)= P= F= F(−5,5√30≤ U ≤ 10,5(10,5)√30− F( )√10,530−√30)(−5,5√30)[1 − F()]√5,5305.5 Approximation d’une loi de PoissonThéorèmeSi m ≥ 20 alors la loi de Poisson P(m) peut être approximée par N (m, √ m).La formulation mathématique est: si X ∼ P(m) alors X − m √ mL−→ N (0, 1).La preuve rigoureuse peut se faire mais demande des connaissances en analysemathématique.On admettra le théorème.Remarque : comme précédemment on fait la correction de continuité.5.6 ExercicesExemple 1Les gains mensuels en francs G d’un représentant sont supposés suivre uneloi Normale. Il a pu constater, sur un grand nombre de mois, la répartitionsuivante des gains en F :P (gain > 18000) = 4, 46%P (15800 < gain ≤ 18000) = 93, 26%P (gain ≤ 15800) = 2, 28%1 - Calculer la moyenne et l’écart type de G qui suit N (µ, σ).2 - Si on suppose que les gains du représentant sont indépendants d’un moisà l’autre, quelle est la loi de proba de X = gain durant 3 mois ?3 - P (X ≥ 53000) ?Exercice 2Un vigneron commercialise 2 types de vin :
5.6. EXERCICES 53les vins ”du terroir” et les vins ”grand cru” et vendus à 30 F la bouteille. Ilsubsiste des erreurs d’étiquetage et on admet qu’un acheteur de vin ”grandcru” aura une probabilité p = 0, 12 d’avoir en fait une bouteille de vin ”duterroir”.1) Un restaurateur achète 200 bouteilles ”grand cru”X : nb de bouteille de vin du terroir parmi ces bouteillesQuelle est la loi de probabilité de X ? Calculer E(X) V (X)Par quelle loi peut-on approcher X ?2) Calculer P (X > 20) et P (X < 30|X > 20)3) Au fur et à mesure de la consommation des 200 bouteilles, le restaurateura pu détecter chacune des bouteilles ”du terroir”. Il décide alors de ne payerque les bouteilles ”grand cru” et de refuser de payer les bouteilles du terroir.Calculer, avec cette hypothèse, la probabilité d’un bénéfice néanmoins positifpour le vigneron ”sachant que” chaque bouteille de grand cru lui revient à 18F et terroir 8 F.
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