COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

40CHAPTER 4. LOI NORMALE OU LOI DE LAPLACE - GAUSS - GÉNÉRALITÉSCette v.a dépend donc de 2 paramètres µ et σ.notation : X ∼ N (µ, σ).• représentation graphiquela courbe en cloche. (cf T.D)→ La valeur de µ détermine la position de la courbe, x = µ est axe desymétrie pour la courbe (f(µ + x) = f(µ − x) ∀x)→ σ détermine la dispersion de la courbe.• Fonction de répartitionF (x) =∫ x−∞f(t)dt =• caractéristiquesE(X) = µV (X) = σ 2preuve :(T.D)Propriété 1∫ x−∞( ) 21 t − µ−1σ √ 2π e 2 σ dtX suit la loi N (µ, σ) si et seulement si X − µσpreuve : T.D.suit la loi N (0, 1)La loi N (0, 1) s’appelle loi Normale centrée réduite. f(x) = 1 √2πe − x 22 .Elle est importante car la propriété signifie que tout calcul de probabilitéassocié à la loi N (µ, σ) se ramène à un calcul de probabilité associé à la loiN (0, 1) en faisant un changement de variable.Propriété 2X 1 ∼ N (µ 1 , σ 1 ), X 2 ∼ N (µ 2 , σ 2 ), X 1 , X 2 indépendantes,alors X 1 + X 2 ∼ N (µ 1 + µ 2 , √ σ 2 1 + σ 2 2)preuve : (T.D.)généralisation