COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

42CHAPTER 4. LOI NORMALE OU LOI DE LAPLACE - GAUSS - GÉNÉRALITÉSU ∼ N (0, 1) u > 0P (U < −u) = F (−u) = 1 − F (u)P (U < −1) = 1 − P (U < 1) = 0, 1587Propriété 2 u > 0P (U > u) = 1 − P (U < u) = 1 − F (u)Propriété 3P (u 1 ≤ U ≤ u 2 ) = F (u 2 ) − F (u 1 )Propriété 4F (u) ≥ 1/2 ⇔ u ≥ 0F (u) ≤ 1/2 ⇔ u ≤ 0Remarque 1 : pour les probabilités d’intervalles, il est indifférent de considérerdes intervalles fermés, ouverts ou mixtes puisque la probabilité d’unpoint est nulle.Remarque 2 : Si on a à calculer P (U ≤ u)avec U ∼ N (0, 1) avec 3 décimales :(ex P (U < 1, 645)) on fait une interpolation linéaire :Supposons que figurent dans la table 1 u 1 et u 2 tq u 1 < u < u 2 on considèreque F (u) − F (u 1)≃ F (u) − F (u 2)ce qui donnerau − u 1 u − u 21F (u) = [(u − u 2 )F (u 1 ) + (u 1 − u)F (u 2 )].u 1 − u 2Pour l’exemple: 1, 64 < u < 1, 65F (u) − F (1, 64) F (u) − F (1, 65)≃0, 05−0, 050, 095⇒ F (u) ≃F (1, 65) + F (1, 64)2=Propriété 5 U ∼ N (0, 1)P (|U| < u) = 2F (u) − 1ex : P (|U| < 1.96) = 2F (1, 96) − 1 = 2.0, 9750 − 1 = 0, 95Propriété 6 U ∼ N (0, 1)P (|U| > u) = 2[1 − F (u)]