COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

48CHAPTER 5. CONDITION D’APPLICATION DE LA LOI NORMALE5.1.2 Convergence en probabilité• Définition(X n ) converge en probabilité vers X si et seulement si∀ɛ > 0, P (|X n − X| > ɛ) −→n→∞0P(notation : X n −→ X)Propriétéla convergence en probabilité ⇒ convergence en loiLa réciproque est fausse.Théorème ⎧⎨Si⎩E(X n ) −→n→+∞ µ alors X nV (X n ) −→n→+∞ 0P−→ µPreuve : il s’agit de démontrer que P (|X n − µ| > ɛ)0. Pour simplifieron supposera que E(X n ) = µ ∀n.Pour cela, on a besoin du résultat suivant :Inégalité de Bienaymé-TchebychevSoit la v.a Z telle que E(Z) = µ, σ(Z) = σ,∥ alors P (|Z − µ| > kσ) ≤ 1 ∀k ∈ R +∗ .k 2preuve de l’inégalité de B.J admise−→n→+∞Fin de la preuve du théorème : soit σ n = σ(X n ), soit k n ∈ R tq k n σ n =ɛ. On a 1 k n= σ nɛ , d’oùP (|X n − µ| > ɛ) = P (|X n − µ| > k n σ n ).D’après l’inégalité B.T, on a0 < P (|X n − µ| > k n σ n ) ≤ 1 } {{ } kn2↓ n → +∞0= σ2 nɛ = 1 ɛ V (X n)} {{ }↓ n → +∞0□.