COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

5.4. APPROXIMATION D’UNE LOI B(N, P ) 51En pratique : npq > 18oun > 30p ∈ [0, 1 ; 0, 9]Comment procède t-on pour approcher une loi discrète par une loi continue ?En effet pour les lois discrètes, les probabilités sont concentrées en des pointset pour les lois continues tout point a une probabilité nulle !Exemple : soit X ∼ B(100, 0, 4) alors X ≈ N (40, 4, 9)Comment approche-t-on P (X = 50) ?On fait ce qu’on appelle une correction de continuitéProposition : correction de continuitéSoit X une v.a.d telle que E(X) = µ, σ(X) = σ et X(Ω) ⊂ Nque l’on approche par Y uneloi N (µ, σ) alors(P (X < k) = P Y ≤ k − 1 )( 2P (X ≤ k) = P Y ≤ k + 1 )( 2P (X = k) = P k − 1 2 ≤ Y ≤ k + 1 )(2P (k 1 ≤ X ≤ k 2 ) = P k 1 − 1 2 ≤ Y ≤ k 1 + 1 )2Exemple : Dans une population bovine, on admet que la robe d’un animal secaractérise par la présence d’un gène dominant S (robe unie) ou d’un gènerécessif s (robe tachetée bleue).Selon la théorie de Mendel un croisement d’animaux hétérozygotes (S, s) ×(S, s) donne 3/4 robes unies et 1/4 robes tachetées bleues.Sur un échantillon de 160 bovins issus de croisements (S, s) × (S, s) on noteX = nombre d’animaux ayant une robe tachetée bleue.a) Déterminer la loi de X (X ∼ B(160, 1/4))b) Par quelle loi peut-on approximer X (par N (40, √ 30) car n > 30 p ∈[0, 1, 0, 9] ou npq = 30 > 18)c) Probabilité que parmi 160 bovins le nombre de tachetées de bleues soit entre35 et 50: