COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

36CHAPTER 3.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUESExemple : reprendre f(x, y) = kx 2 + y 2 − xy.e) Donner la fonction densité conditionnelle de X|Y = 0.f) Calculer P (0 < X < 1|Y = 0).g) Calculer l’espérance de X|Y = 0.f(x, 0)sol : e) f Y =0 (x) =f Y (0) = x2 /21/3 = 3x2⎧2⎨ 3x 2f Y =0 (x) =x ∈ [−1, 1]⎩20 sinonf) P (0 < X < 1|Y = 0) =g) E(X|Y = 0) =∫ +∞−∞∫ 103x 22 dx = 3 2x f Y =0 (x)dx =∫ 1−1six ∈ [−1, 1]. Ainsi[ x3] 1033x 3= 1 2 .2 dx = 3 2[ x44] 1−1= 0.Théorème de l’espérance conditionnelleE(X) =Preuve :∫ +∞−∞E(X|Y = y) =∫ +∞−∞E(X|Y = y)f Y (y) dy∫ +∞−∞x f Y =y (x)dx =E(X|Y = y)f Y (y)dy ==∫ +∞x∫−∞+∞ ∫ +∞∫ −∞ +∞−∞−∞ ∫ +∞x (f(x, y)f Y (y) dx.x f(x, y)dy dxf(x, y)dy)dx .}−∞{{ }f X (x)3.3.1 Indépendance en probabilitécovariance-coéfficient de corrélationComme dans le cas des variables discrètes, intuitivement on peut penser queX et Y sont indépendantes si et seulement si tout événement lié à X estindépendant de tout événement lié à Y .