COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

8 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESOn réalise n fois successivement et d’une manière indépendante une expérience aléatoirequi a 2 résultats possibles, S (succès) de probabilité p et E (échec) de probabilité 1 − pX = nombre de succès obtenus est une v.a. binomiale de paramètre n et p.Notation B(n, p).Remarque :On peut également la définir comme une somme de v.a. de Bernoulli.A chaque épreuve i, on associe la v.a. de Bernoulli X iX =n∑X i .i=1Loi de probabilité X ∼ B(n, p)X(Ω) = {0, . . . , n}P (X = k) = Cn k p k (1 − p) n−k ∀k ∈ X(Ω)n : nb d’épreuves,k : nb de S (succès),p : probabilité du succès.PropriétésE(X) = np∥ V (X) = np(1 − p)PropriétéSiX 1 ∼ B(n 1 , p) et X 2 ∼ B(n 2 , p)avecX 1 , X 2 indépendantes, alorsX 1 + X 2 ∼ B(n 1 + n 2 , p)Preuve : somme de v.a Benouilli.Il y a des tables pour éviter de calculer les probabilités d’ événements liés àla loi binomiale. On peut également, dans certains cas, approximer B(n, p)par une autre loi.Exercice :Une machine à embouteiller peut tomber en panne. La probabilité d’unepanne à chaque emploi est de 0,01. La machine doit être utilisée 100 fois.