COURS DE PROBABILITE 2i`eme annÃ©e d'Ã©conomie et de gestion ...

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32CHAPTER 3.∫ ∫P ((X, Y ) ∈ D) =COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUES==∫ D 1(∫ 1−x∫0101dx dy)dy dx01 − x dx =[x − x22] 10= 1 2 .A partir de la fonction densité conjointe, peut-on retrouver les fonctions densitémarginales de X et Y ?f X (x) =f Y (y) =Propriété∫ +∞∫ −∞ +∞−∞∫ +∞ ∫ +∞−∞−∞f X,Y (x, y)dyf X,Y (x, y)dxf X,Y (x, y)dx dy = 1Exemple :{ kxf(x, y) =2 + y 2 − xy x ∈ [−1, 1] et y ∈ [−1, 0]0 sinona) déterminer k pour que f soit effectivement une fonction densité d’un couple(X, Y ).b) calculer P [{0 < X < 1} ∩ {−1/2 < Y < 0}]c) fonctions densité marginales.d) fonction de répartition conjointe.
3.2. FONCTION DENSITÉ CONJOINTEFONCTIONS DENSITÉ MARGINALES33sol : a)b)∫ 1 ∫ 00∫ ∫f(x, y)dx dy = 1∫R 2 ∫⇔ kx 2 + y 2 − xy dy dx = 1∫ D 1(∫ 0)⇔ kx 2 + y 2 − xy dy dx = 1−1 −1∫ 1⇔ (kx 2 + 1−1 3 + x 2 ) dx = 1[ x3⇔ k + 1 [ x23 3 [x]1 −1 +4−1/2] 1−1] 1−1= 1 ⇔ 2 3 k + 2 3 = 1⇔ k = 1 2 .x 2∫ 12 + x 2y2 − xy dy dx =0 4 + 1 24 + x 8 dx[ [ x3x2c)On a f X (x) =∫ +∞−∞f(x, y)dy.Si x /∈ [−1, 1], f X (x) = 0.Si x ∈ [−1, 1], f X (x) =On a f Y (y) =∫ +∞−∞∫ 0f(x, y)dx.Si y /∈ [−1, 0], f y (y) = 0.y ∈ [−1, 0], f y (y) =d) F X,Y (x, y) =∫ x−∞∫ y−∞∫ 1−1−1= 1 43] 10+ 1 24 + 1 8= 1 12 + 1 24 + 1 16 = 3 24 + 1 16 = 1 8 + 1 16 = 3 16 .2] 10x 22 + y2 − xy dy = x22 + 1 3 + x 2 .12 x2 + y 2 − xy dx = 1 2f(u, v)dv du.• Si x < −1 ou y < −1, F X,Y (x, y) = 0• Si (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 0],[ x33] 1−1= 1 3 + 2y2 .[ x+ y 2 [x] 1 2−1 − y2] 1−1
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