COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

26CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTESV (X) ===n∑p∑x 2 i P (X = x i ) − E 2 (X) or P (X = x i ) = P (X = x i ∩ Y = y j )(j=1n∑ p∑)x 2 i P (X = x i |Y = y j )P (Y = y j ) − E 2 (X)j=1)p∑x 2 i P (X = x i |Y = y j ) P (Y = y j ) − E 2 (X)i=1i=1( n∑j=1 i=1p∑ (= V (X|Y = yj ) + E 2 (X|Y = y j ) ) P (Y = y j ) − E 2 (X)=j=1p∑V (X|Y = y j )P (Y = y j ) +j=1} {{ }V intra (X)p∑E 2 (X|Y = y j )P (Y = y j ) − E 2 (X)j=1} {{ }V inter (X)2.6 Fonction de 2 variables aléatoires discrètes2.6.1 Espérance-VarianceSoit Z = ϕ(X, Y ) avec ϕ : R 2 → R, une v.ade valeurs z ij = ϕ(x i , y j )P (Z = z ij ) = P (ϕ(X, Y ) = ϕ(x i , y j )).On peut calculer E(Z) et V (Z) sans avoir à calculer la loi de Z :PropriétéE(Z) = ∑ i,jV (Z) = ∑ i,jp ij ϕ(x i , y i )p ij ϕ 2 (x i , y i ) − E(Z) 22.6.2 Calcul de la covariancecov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),E(XY ) = ∑ x i y i p ij . Propriétéi,j