COURS DE PROBABILITE 2i`eme annÃ©e d'Ã©conomie et de gestion ...

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12 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESV (X) = npq N − nN − 1 = 2 × 2 5 × 3 5 × 3 4 = 9 25σ(X) = 0, 6= 0, 36Exemple 2On choisit au hasard 10 étudiants de DEUG ≠ pour un entretien : 304étudiants sont inscrits en 1ère année, 233 en 2ème .X = nb d’étudiants de 1ère année parmi les 10.Calculer la probabilité d’avoir 5 étudiants de 1ère année et déterminer E(X)et σ(X).X ∼ H(537, 10, 304537 )P (X = 5) = C5 304C 5 233C 10537≃ 0, 227Mais on peut utiliser l’approximationComme n N = 10(537 < 0, 1, on peut approximer HP (X = 5) = C 5 10( 304537E(X) = np = 10 × 304537V (X) = npq N − n) 5 ( 233537= 5, 661) 5≃ 0, 225.304= 10 ×537 × 233537 × 527536N − 1σ(X) = 1, 554avec l’approximation σ(X) = √ npq = 1, 567.537, 10, 304 )537≃ 2, 415(par B 10, 304 )5371.5 Loi géométrique et loi de PascalOn se place dans une optique différente.A la base, il y a toujours l’épreuve de Bernoulli qui a 2 résultats possibles :un événementde probabilité p et l’autre. Mais cette fois, on ne connait pasle nombre d’épreuves.DéfinitionX suit la loi géométrique de paramètre p, G(p), si elle est égale au nombre d’épreuves deBernoulli indépendantes qu’il faut réaliser pour obtenir pour la 1ère fois l’événementdeprobabilité p.
1.5. LOI GÉOMÉTRIQUE ET LOI DE PASCAL 13Loi de probabilitéX(Ω) = N ∗ , (l’ensemble des valeurs est ∞ dénombrable)P (X = k) = q k−1 pk ∈ N ∗fonction de répartitionn∑P (X ≤ n) = q k−1 p = pk=1F X (n) = 1 − q ncaractéristiques∑n−1K=0q k = p 1 − qn1 − q = 1 − qnE(X) = 1 pV (X) = 1 − pp 2La loi de Pascal est la généralisation de la loi géométrique lorsque l’ons’intéresse à l’obtention pour la k ième fois de l’événementde probabilité pDéfinitionX suit la loi de Pascal G(k, p), si elle est égale au nombre d’épreuves de Bernoulliindépendantes qu’il faut réaliser pour obtenir pour la kèm fois l’événementdeprobabilité p.Loi de probabilitéX(Ω) = {k, . . . , ∞}P (X = j) = C k−1j−1 pk−1 q j−k p j ≥ kCaractéristiquesE(X) = k pk(1 − p)V (X) =p 2Remarque : la ressemblance avec la loi binomiale n’est qu’apparente. Lagrande différence est que le nombre de répétitions de l’épreuve élémentairede Bernoulli n’est pas connu, et c’est lui qui représente l’aléatoire du problème
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