COURS DE PROBABILITE 2i`eme annÃ©e d'Ã©conomie et de gestion ...

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22CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES2.3 Loi de probabilité conditionnelleEspérance conditionnelleDéfinitionOn appelle variable aléatoire conditionnelle X sachant Y = y j , notée X|Y = y jla v.a. discrète de valeurs {x i , i = 1, . . . , n}et dont les probabilités sontP (X = x i |Y = y j ) = p ijp •jPropriétésn∑P (X = x i |Y = y j ) = 1i=1p∑P (Y = y j |X = x i ) = 1j=1∀y j∀x iDéfinitionOn appelle espérance conditionnelle de X sachant Y = y j la quantitéE(X|Y = y j ) =n∑x i P (X = x i |Y = y j ).i=1Théorème de l’espérance conditionnellep∑E(X) = E(X|Y = y j )P (Y = y j )preuve :j=1p∑E(X|Y = y j ) P (Y = y j ) =j=1p∑j=1n∑i=1x ip ijp •j× p •j ==n∑i=1x i∑ Pp ijj=1n∑p i• x i = E(X)i=1
2.4.INDÉPENDANCE STOCHASTIQUE 232.3.1 Corrélation linéaireDéfinitionOn appelle covariance du couple (X, Y ) la quantitécov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )On appelle corrélation linéaire entre X et Yρ(X, Y ) = cov(X, Y )√V (X)V (Y )Propriétés−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 (1)V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X, Y ) (2)cov(a X, Y ) = a cov(X, Y ) (3)2.4 Indépendance stochastiqueDéfinition2 v.a.d. X et Y sont indépendantes en probabilité (ou stochastiquement) si l’une de cespropriétés équivalentes est vérifiée (si elle a un sens) :(i)∀i ∈ {1, . . . , n}∀j ∈ {1, . . . , p}P (X = x i |Y = y i ) = P (X = x i ).(ii) ∀i, ∀j P (Y = y j |X = x i ) = P (Y = y j ).(iii) ∀i, ∀j P (X = x i ∩ Y = y j ) = P (X = x i ) × P (Y = y j ).Propriétés(1) Si X et Y sont indépendantes en probabilité alors ρ(X, Y ) = 0(2) Si ρ(X, Y ) ≠ 0 alors X et Y ne sont pas indépendantes en probabilité(3) Si ρ(X, Y ) = 0 alors X et Y ne sont pas forcément indépendantes en probabilité.ExempleUne urne contient b boules blanches (B) et r boules rouges (R).On tire une boule au hasardB → 0Soit X :R → 1Si la boule tirée est B on la remet accompagnée de n autres boules blanches.
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