Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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7.9 Formulazioni approssimate 113<br />
per il caso di terreno saturo.<br />
Nelle precedenti equazioni, si è tenuto conto <strong>delle</strong> leggi di compressibilità dei<br />
due fluidi eq. 7.55 e eq. 7.57; le eq. 7.67 e eq. 7.73 definiscono invece il legame tra<br />
la velocità di deformazione ˙ɛij ed il gradiente della velocità dello scheletro solido,<br />
nella ipotesi di piccole deformazioni.<br />
Le eq. 7.59–7.67 e le eq. 7.68–7.73 costituiscono un sistema di equazioni differenziali<br />
alle derivate parziali (PDE) costituito rispettivamente da (24+k) e da<br />
(19+k) funzioni incognite [k = dim(q)].<br />
7.9 Formulazioni approssimate<br />
Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che controlla l’evoluzione<br />
nello spazio e nel tempo dei processi di deformazione dello scheletro solido e di<br />
flusso dei fluidi interstiziali, in linea di principio, può essere risolto per via numerica,<br />
utilizzando il metodo degli elementi finiti, assegnate le opportune condizioni ai<br />
limiti (iniziali ed al contorno) per il problema in esame. Tale approccio è discusso,<br />
ad es., in Zienkiewicz & Shiomi (1985).<br />
In molti casi, tuttavia, è possibile semplificare considerevolmente le equazioni<br />
governanti tenendo conto che, in relazione al campo di frequenze caratteristiche<br />
<strong>delle</strong> sollecitazioni applicate, alcuni termini che compaiono nelle equazioni governanti<br />
risultano trascurabili. Tale possibilità è stata esplorata da Zienkiewicz et al.<br />
(1980) per il caso speciale di terreno elastico lineare. I principali <strong>risultati</strong> raggiunti<br />
da Zienkiewicz et al. <strong>sono</strong> sintetizzati nel seguito, con riferimento al solo caso di<br />
mezzo saturo.<br />
7.9.1 Processi estremamente lenti (ESP)<br />
In questo caso, la velocità di variazione <strong>delle</strong> sollecitazioni applicate è talmente<br />
bassa (al limite, nulla) che, nelle equazioni di bilancio, tutti i termini contenenti<br />
derivate <strong>delle</strong> varie grandezze rispetto al tempo <strong>sono</strong> trascurabili, con la sola<br />
eccezione della velocità di filtrazione.<br />
In tali condizioni, cui si attribuisce il nome di “condizioni drenate” (Drained<br />
processes, DP), si ha:<br />
∂σij<br />
∂w w i<br />
∂xi<br />
= 0 (7.74)<br />
+ ρbi = 0 (7.75)<br />
∂xi<br />
w w i = − kw <br />
ij ∂pw<br />
− ρwbj<br />
(7.76)<br />
µw ∂xj<br />
(7.77)<br />
˙σ ′ ij = Dijkl(σ ′ ab, qr, ηst)˙ɛkl<br />
˙qi = Hi(σ ′ ab, qc, ˙ɛlm, ηpq) (7.78)<br />
˙ɛij = − 1<br />
2<br />
∂v s i<br />
∂xj<br />
+ ∂vs <br />
j<br />
∂xi<br />
(7.79)