Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

142 9 Implementazione numerica di equazioni costitutive in codici agli elementi finiti
Sia ∆ɛn+1 l’incremento di deformazione finito dall’iterazione globale (k) durante
lo step temporale [tn, tn+1].
L’idea alla base del concetto di linearizzazione dell’algoritmo è determinare
come varia σn+1 al variare di ∆ɛn+1 prescritto. Infatti l’espressione della matrice
di rigidezza tangente consistente è la seguente:
D (k)
n+1 =
(k)
∂σn+1
∂ɛn+1
n+1
(9.24)
Si osservi come D (k)
n+1 = D e la differenza si riduce al diminuire della dimensione
dello step temporale. Quando di utilizza D al posto di D (k)
n+1 la convergenza
dell’algoritmo di Newton è fortemente deteriorata.
A causa della non linearità del legame costitutivo, il calcolo di D (k)
n+1 è stato
condotto per via numerica, sfruttando il concetto di derivata direzionale di Frechet.
Detto η un tensore unitario nello spazio delle deformazioni ɛn+1, si vuole valutare
la variazione di σn+1 nella direzione η per una perturbazione infinitesima
θ del modulo di ɛn+1 in tale direzione.
Dalla definizione di derivata direzionale di Frechet, la derivata di σn+1 rispetto
ad ɛ nella direzione η è data da:
Dσn+1[η] = lim
θ→0
1
θ [σn+1(ɛn+1 + θη) − σn+1(ɛn+1)]
(9.25)
Le componenti di D sono valutate tramite le derivate di Frechet attraverso una
scelta opportuna di η. In particolare si considerino i seguenti 6 casi:
η = e1 = 1 0 0 0 0 0 T
η = e2 = 0 1 0 0 0 0 T
η = e3 = 0 0 1 0 0 0 T
η = e4 = 0 0 0 1 0 0 T
η = e5 = 0 0 0 0 1 0 T
η = e6 = 0 0 0 0 0 1 T
(9.26)
(9.27)
(9.28)
(9.29)
(9.30)
(9.31)
prendendo in esame, ad esempio, il caso fornito dalla eq. 9.26, la eq. 9.25 fornisce
la derivata di σn+1 rispetto ad ɛn+1 nella direzione e1 e rappresenta dunque il
primo vettore colonna di D, che si indica con la notazione:
D1 = Dσn+1 [e1] (9.32)
La matrice D, può essere determinata a partire dai sei vettori colonna:
1
Dα = Dσn+1 [eα] = lim
θ→0 θ [σn+1(ɛn+1 + θeα) − σn+1(ɛn+1)]
(9.33)
Se si sceglie θ molto piccolo, il limite tende a coincidere con il rapporto incrementale,
dove σn+1(ɛn+1 + θeα) è ottenuto per integrazione numerica a partire dalla
deformazione perturbata ɛn+1 + θeα.