Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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8.2 Discretizzazione nello spazio 127<br />
Le eq. 8.20 e 8.21 rappresentano un sistema di equazioni differenziali ordinarie,<br />
nelle incognite d(t) e a(t), che devono essere risolte numericamente ricorrendo ad<br />
opportune procedure numeriche (tipicamente, il metodo di Newmark, descritto nel<br />
Par. 8.4.1). L’accoppiamento tra problema meccanico e problema idraulico è legato<br />
alla presenza dei termini Cswa nella eq. 8.20 e Csw ˙ d nella eq. 8.21. Il vettore <strong>delle</strong><br />
“forze nodali interne”, f int , dipende (in maniera non lineare) dagli spostamenti<br />
nodali, in quanto questi determinano lo stato di deformazione, e quindi lo stato di<br />
tensione efficace corrente.<br />
8.2.2 Formulazione non drenata (UP)<br />
Nel caso non drenato, il problema di equilibrio dinamico dello scheletro solido risulta<br />
disaccoppiato dalla equazione di conservazione della massa del liquido. Pertanto<br />
la eq. 7.97 può essere risolta direttamente.<br />
Siano:<br />
Cu := u s i (xk, t) : B × R ↦→ R|u s i ∈ H 1 &u s i = u s <br />
i ∀x ∈ Su (8.22)<br />
lo spazio <strong>delle</strong> soluzioni per la funzione incognita us i , costruite in modo tale da<br />
rispettare le condizioni al contorno di Dirichlet sulle porzioni della frontiera dove<br />
<strong>sono</strong> assegnate le componenti di spostamento (us i ), e:<br />
Vu := δu s i (xk, t) : B × R ↦→ R|δu s i ∈ H 1 &δu s <br />
i = 0∀x ∈ Su<br />
(8.23)<br />
lo spazio <strong>delle</strong> variazioni δus i del campo di spostamenti, scelte in modo tale da<br />
essere nulle in corrispondenza del contorno Su. La forma variazionale del problema<br />
dinamico è formulata nel modo seguente: si determini la funzione us i ∈ Cu in modo<br />
che, per ogni δus i ∈ Vu, risulti:<br />
<br />
− ρδu<br />
B<br />
s <br />
i aidv + ρδu<br />
B<br />
s <br />
i bidv + δu s <br />
i tidv − δɛijσijdv = 0<br />
B<br />
(8.24)<br />
Sl<br />
Introducendo una opportuna discretizzazione spaziale in elementi finiti, ed approssimando<br />
la funzione incognita e la sua variazione mediante le interpolazioni<br />
eq. 8.6 e 8.8, si ottiene:<br />
δd T <br />
· M ¨ d + f int (d) − f ext<br />
= 0 (8.25)<br />
e, quindi, per l’arbitrarietà del vettore δd,<br />
M ¨ d + f int (d) − f ext = 0 (8.26)<br />
Tale equazione è formalmente analoga alla equazione (discreta) di equilibrio dinamico<br />
di un mezzo monofase. Ciò che la caratterizza è la natura del vettore <strong>delle</strong><br />
forze nodali interne (totali):<br />
f int (d) := A nel<br />
<br />
e=1 B uT σ[ɛ(d)]dv (8.27)<br />
B e