Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

136 9 Implementazione numerica di equazioni costitutive in codici agli elementi finiti
Ortiz & Simo (1986), Sloan (1987) e Sloan et al. (2001). Studi comparativi sulle
prestazioni delle diverse strategie applicate alla teoria della plasticità classica
sono presentati in Gens & Potts (1988) e in Potts & Ganendra (1994).
2. algoritmi impliciti che sono basati sul concetto di “operator split” e “closest
point projection return mapping”, presentati, ad es., in Simo & Hughes (1987)
e in Simo & Govindjee (1991). Tali algoritmi sono stati applicati alla geomeccanica
computazionale in molti articoli recenti, tra cui Borja & Lee (1990),
Borja (1991), Borja & Tamagnini (1998), Alawaji et al. (1992), Macari et al.
(1997), Jeremić & Sture (1997), Tamagnini et al. (2002).
In uno schema di integrazione esplicito le leggi di evoluzione sono valutate in corrispondeza
di uno stato del materiale noto e per la determinazione dello stato
finale non è strettamente necessaria alcun tipo di iterazione. Comunque nell’integrazione
di modelli elastoplastici è sempre opportuno introdurre una semplice
correzione iterativa per riportare lo stato del materiale sulla superficie di snervamento,
quando tale condizione non è imposta dall’integrazione. In un algoritmo
implicito le leggi di evoluzione sono valutate in corrispondenza di uno stato del
materiale non noto, di conseguenza il sistema di equazioni non–lineari deve essere
risolto in maniera iterativa. Se per esempio si utilizza un metodo di Newton è necessario
valutare la derivata seconda della funzione di snervamento e del potenziale
plastico. Nella pratica entrambi gli schemi sono stati impiegati per l’integrazione
di modelli costitutivi avanzati.
I metodi impliciti presentano il vantaggio che il risultato soddisfa automaticamente
il criterio di snervamento con una tolleranza imposta. Inoltre non è necessario
valutare il punto di intersezione del percorso di carico con la superficie di
snervamento se si passa da uno stato elastico a uno plastico. Tra i motodi menzionati,
uno degli schemi più diffusamente utilizzati in plasticità computazionale è
il metodo generalizzato di Eulero all’indietro (Generalized Backward Euler, GBE)
(Simo & Hughes, 1997; Simo, 1998) per le sue caratteristiche di accuratezza e
stabilità per ampi intervalli di tempo. Nell’ambito della geomeccanica, tale procedura
è stata applicata per la prima volta a modelli di Stato Critico a due invarianti
da Borja & Lee (1990); Borja (1991); Runesson (1987). In seguito, Alawaji et al.
(1992) e Jeremić & Sture (1997) hanno esteso l’applicazione del metodo GBE a modelli
a tre invarianti ad incrudimento isotropo, mentre Borja & Tamagnini (1998)
hanno sviluppato un particolare metodo GBE nello spazio delle deformazioni principali
elastiche per il modello classico di Cam–Clay Modificato per deformazioni
finite. Tramite il metodo GBE lo stato finale del materiale è determinato risolvendo
un sistema di equazioni differenziali non–lineari in corrispondenza di ogni
punto di Gauss. Quando per tale integrazione si utilizza l’algoritmo di Newton –
Raphson è necessario far attenzione alla convergenza. Inoltre le maggiori difficoltà
nell’applicazione di schemi GBE a modelli costitutivi sono: i) comportamento elastico
dipendente dalla pressione; ii) leggi di incrudimento fortemente non–lineari;
iii) espressioni complesse del potenziale plastico e della funzione di snervamento
che sono state semplificate introducendo una o entrambe delle seguenti ipotesi
semplificative:
1. si elimina la dipendenza della funzione di snervamento e/o del potenziale
plastico dal terzo invariante;