Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

More documents

Recommendations

Info

8.2 Discretizzazione nello spazio 125 gli spazi delle variazioni δus i e δpw del campo di spostamenti e delle pressioni interstiziali, rispettivamente, definite in modo tale da essere nulle in corrispondenza dei contorni Su ed Sp. La forma variazionale del problema dinamico accoppiato è formulata nel modo seguente: si determinino le funzioni us i ∈ Cu e pw ∈ Cp in modo che, per ogni δus i ∈ Vu e δpw ∈ Vp, risulti: − ρδu B s i aidv + ρδu B s i bidv + δpw {Cw ˙pw + ˙ɛkk} dv + B Nelle precedenti equazioni, B Sl δu s i tidv − δɛijσ B ′ ijdv + B δɛkkpwdv = 0 (8.3) kij (δpw),i {(pw),i − ρwbj} dv + δpwq wda = 0 µw Sq (8.4) ɛij = u s (i,j) δɛij = δu s (i,j) (8.5) rappresentano i tensori della deformazione dello scheletro solido, e la parte simmetrica del gradiente della variazione δus (i,j) , rispettivamente, mentre il coefficiente Cw = n/Kw è la compressibilità specifica della fase liquida. La formulazione discreta del problema di consolidazione dinamica accoppiata si ottiene dalle eq. 8.3–8.4 introducendo una opportuna suddivisione del dominio B in elementi finiti, e definendo opportune approssimazioni per le funzioni incognite, a partire da funzioni interpolanti a supporto locale. In particolare, si pone: u s i (xk, t) = nnu A=1 per gli spostamenti dello scheletro solido, e: pw(xk, t) = nnu A=1 N u A(xk)dAi(t) u s i (x, t) = N u d(t) (8.6) N p A (xk)aA(t) pw(x, t) = N p a(t) (8.7) per la pressione interstiziale. Nelle eq. 8.6 e nella eq. 8.7, i vettori d ed a rappresentano i vettori degli spostamenti e delle pressioni interstiziali nodali, mentre N u ed N p sono le matrici delle funzioni di forma per gli spostamenti e le pressioni interstiziali (generalmente diverse tra loro). Seguendo l’approccio classico di Galerkin, per le funzioni variazione δu s i e δpw si adottano tipicamente le stesse approssimazioni utilizzate per il campo di spostamenti e delle pressioni interstiziali: δu s i (xk, t) = δpw(xk, t) = nnu A=1 nnu A=1 N u A(xk)δdAi(t) δu s i (x, t) = N u δd(t) (8.8) N p A (xk)δaA(t) δpw(x, t) = N p δa(t) (8.9) dove δd e δa sono i vettori delle variazioni nodali per gli spostamenti e le pressioni interstiziali, rispettivamente.
126 8 Implementazione numerica agli elementi finiti delle equazioni dinamiche Sostituendo le espressioni 8.6–8.9 nelle eq. 8.3 e 8.4, si ottiene infine la seguente forma discreta del problema di consolidazione accoppiato: si determinino i vettori degli spostamenti nodali, d, e delle pressioni interstiziali nodali, a, in modo che le equazioni: δd T · M¨ d + f int (d) − Cswa − f ext = 0 (8.10) δa T · Cws ˙ d + P ˙a + Ha − q ext = 0 (8.11) risultino soddisfatte per qualunque valore dei vettori delle variazioni nodali (arbitrarie) δd e δa. Le matrici ed i vettori che compaiono nelle eq. 8.10 e 8.11 sono definite come segue: M := A nel e=1 Be ρN uT N u dv (8.12) f int (d) := A nel e=1 Be B uT σ ′ [ɛ(d)]dv (8.13) Csw := A nel e=1 Be B uT mN p dv (8.14) f ext (d) := A nel e=1 Be N uT ρBdv + Se N uT tda (8.15) Cws := A nel e=1 Be N pT m T B u dv = C T sw (8.16) P := A nel e=1 Be CwN pT N p dv H := A (8.17) nel e=1 Be 1 E µw pT KE p dv q (8.18) ext (d) := A nel e=1 E pT ρw KB µw u dv − N pT qda (8.19) B e M rappresenta la matrice di massa; f int (d) è il vettore delle forze interne dipendente dal valore corrente del tensore della tensione totale. Quest’ultimo a sua volta è funzione del vettore degli spostamenti nodali attraverso il legame costitutivo e la relazione cinematica spostamenti–deformazioni; Csw è la matrice di accoppiamento e Cws è la sua trasposta; P rappresenta la matrice di compressibilità in cui Cw = n/Kw (ipotesi di incompressibilità dei grani); H è la matrice di permeabilità ed infine f ext (d) e q ext (d) sono i vettori delle forze esterne dipendenti da quantità note. Inoltre il simbolo A rappresenta l’operazione di assemblaggio dei contributi dei singoli elementi; B u è l’operatore gradiente discreto per il campo di spostamenti, ed E p l’operatore gradiente discreto per il campo di pressione interstiziale. Data l’arbitrarietà dei vettori δd e δa, affinchè le eq. 8.10 e 8.11 siano soddisfatte, è necessario che risulti: M ¨ d + f int (d) − Cswa − f ext = 0 (8.20) Cws ˙ d + P ˙a + Ha − q ext = 0 (8.21) S e
Page 1 and 2:
72 6 Valutazione della risposta dei
Page 3 and 4: 74 6 Valutazione della risposta dei
Page 30 and 31: 7 Equazioni governanti per i proces
Page 32 and 33: 7.1 Introduzione 103 • la densit
Page 34 and 35: 7.3 Conservazione della massa dei s
Page 36 and 37: 7.5 Conservazione della quantità d
Page 38 and 39: 7.7 Equazioni costitutive 7.7.1 Equ
Page 40 and 41: 7.7 Equazioni costitutive 111 che l
Page 42 and 43: 7.9 Formulazioni approssimate 113 p
Page 44 and 45: 7.9 Formulazioni approssimate 115 A
Page 46 and 47: 7.9 Formulazioni approssimate 117 U
Page 48 and 49: 7.9 Formulazioni approssimate 119 F
Page 50: 7.9 Formulazioni approssimate 121 F
Page 53: 124 8 Implementazione numerica agli
Page 57 and 58: 128 8 Implementazione numerica agli
Page 64 and 65: 9 Implementazione numerica di equaz
Page 66 and 67: 9.2 L’algoritmo RKF-23 a passo ad
Page 68 and 69: 9.2 L’algoritmo RKF-23 a passo ad
Page 70 and 71: 9.3 Linearizzazione consistente med
Page 76 and 77: 9.4 Accuratezza ed efficienza dell
Page 78 and 79: 9.4 Accuratezza ed efficienza dell
Page 80: 9.4 Accuratezza ed efficienza dell
show all

Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?