Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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130 8 Implementazione numerica agli elementi finiti <strong>delle</strong> equazioni dinamiche<br />
<strong>Fig</strong>ura 8.1. Relazione tra rapporto di smorzamento e frequenza di vibrazione per il<br />
damping alla Rayleigh (Clough & Penzien, 1993).<br />
8.4.1 Formulazione per processi (MSP)<br />
Per completare la soluzione numerica del problema MSP si descrive il metodo di<br />
integrazione nel tempo <strong>delle</strong> equazioni differenziali ordinarie 8.30–8.21 utilizzato<br />
nel codice GEHOMadrid.<br />
Si consideri una suddivisione della scala dei tempi intervalli ∆t = tn+1 − tn. In<br />
corrispondenza di tn si ha:<br />
M ¨ dn + C ˙ dn + f int<br />
n (dn) − Cswan − f ext<br />
n = 0 (8.38)<br />
Csw ˙ dn + P ˙an + Han − q ext<br />
n = 0 (8.39)<br />
in cui <strong>sono</strong> noti i valori di dn, an, ˙ dn e ˙an, i valori di ¨ dn e än pos<strong>sono</strong> dunque<br />
essere ricavati.<br />
Al tempo tn+1 si ha:<br />
M ¨ dn+1 + C ˙ dn+1 + f int<br />
n+1(dn+1) − Cswan+1 − f ext<br />
n+1 = 0 (8.40)<br />
Csw ˙ dn+1 + P ˙an+1 + Han+1 − q ext<br />
n+1 = 0 (8.41)<br />
La più diffusa famiglia di metodi diretti per risolvere le eq. 8.40–8.41 è quella dei<br />
“Generalized Newmark methods” (Katona & Zienkiewicz, 1985) indicati con l’abbreviazione<br />
GNpj, in cui “p” è l’ordine dello schema e “j” è l’ordine dell’equazione<br />
differenziale (con p ≥ j).<br />
Lo schema GN22 (vale a dire il metodo di Newmark) si utilzza per d e lo<br />
schema GN11 per a.<br />
Lo schema GN22 si scrive come:<br />
˙dn+1 = ˙ dn + ∆t ¨ dn + β1∆t∆ ¨ dn<br />
dn+1 = dn + ∆t ˙ dn + 1<br />
2 ∆t2¨ dn + 1<br />
2 β2∆t 2 ∆ ¨ dn<br />
(8.42)<br />
(8.43)