Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

146 9 Implementazione numerica di equazioni costitutive in codici agli elementi finiti
• θ = 10 −4 ;
• θ = 10 −3 ;
• θ = 10 −2 .
Lo scopo dell’analisi è quello di determinare il valore ottimale di θ, quello che cioè
porta la convergenza dell’algoritmo ad essere di tipo quadratico, come teoricamente
previsto da per il metodo di Newton-Raphson.
I risultati sono riportati in Tab. 9.4 e diagrammati nel grafico k : log R di
Fig. 9.3.
Si noti come in tutti i casi il decremento del residuo nell’iterazione è molto
rapido, cosa che denota una convergenza veloce. Sono necessarie solo quattro iterazioni
per ottenere il grado di accuratezza imposto; è importante sottolineare che
il livello di tolleranza imposto è dell’ordine di 10 −8 , cioè è richiesto un alto grado
di accuratezza. Dalla figura è chiaro inoltre come il valore ottimale del parametro
di perturbazione sia θ = 10 −5 .
Risulta importante sottolineare che la convergenza quadratica gioca un ruolo
fondamentale nelle analisi di grandi dimensioni. Infatti i tempi di calcolo richiesti
per portare a termine una singola analisi dipendono linearmente dal numero totale
di iterazioni richieste per ottenere la convergenza nei vari passi di carico.
Dalla velocità di convergenza dell’algoritmo iterativo globale dipende dunque
in maniera cruciale l’efficienza della procedura di calcolo.
Tabella 9.4. Valori della norma del residuo al variare del numero di iterazioni nei
quattro casi a diverso valore del parametro di perturbazione θ.
k R perθ = 10 −2 k R perθ = 10 −3 k R perθ = 10 −4 k R perθ = 10 −5
1 5.72317 1 5.72248 1 5.72241 1 5.72241
2 0.15540 2 0.14491 2 0.14386 2 0.14375
3 5.03714 10 −4
3 9.38576 10 −6
3 6.11183 10 −5
3 6.40674 10 −5
4 1.55357 10 −6
4 1.39696 10 −9
4 1.62984 10 −9
4 1.52824 10 −10
9.4 Accuratezza ed efficienza dell’algoritmo proposto
In tale paragrafo si riportano i risultati numerici relativi ad un esteso programma
di simulazioni numeriche al fine di valutare le prestazioni dell’algoritmo proposto.
Tali simulazioni sono state eseguite assumendo per il modello ipoplastico per
le argille di Maˇsín (2005) il set di parametri riportato in Tab. 9.5.
Tabella 9.5. Parametri del materiale adottati nella simulazione numerica.
φ λ ∗
κ ∗ N ∗
r mr mt R βr ξ
(deg) (–) (–) (kPa) (–) (–) (–) (–) (–) (–)
22.56 0.080 0.013 1.23 0.8 4.5 4.5 2.0e-4 0.2 6.0